2024-2025学年江苏省南通市淮中、海中等名校高一10月联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南通市淮中、海中等名校高一10月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，其中是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.设，，则“”是“，都不为”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A. 向左平移后的所得函数 B. 向右平移后的所得函数
C. 向左平移后的所得函数 D. 向右平移后的所得函数
4.已知是曲线：上一点，直线：经过点，且与曲线在点处的切线垂直，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.某厂以千克小时的速度匀速生产某种产品生产条件要求，每小时可获得利润元．要使得生产千克该产品获得的利润最大，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，且，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若偶函数满足，且当时，，则( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，所对的边分别是，，，已知，且，当取得最小值时，的最大内角的余弦值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，则( )
A. B.
C. D.
10.已知，，则( )
A. 当时，
B. 当时，
C. 当时，在上的投影向量为
D. 当时，，的夹角为钝角
11.已知函数，，则( )
A. 函数的最小正周期为
B. 当时，函数的值域为
C. 当时，函数的单调递增区间为
D. 若函数在区间内恰有个零点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设集合，，若，则_______．
13.已知为钝角，且，则_______．
14.已知函数，当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，则_______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，动点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
已知点为曲线上的一点，曲线在点的切线交直线于，过作直线的垂线交于点，求的面积．
16.本小题分
如图，在三棱台中，和都为等腰直角三角形，，，，为线段的中点，为线段上的点，且平面．
求证：点为线段的中点；
求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，周长为，，且．
求角；
设的延长线上一点满足，又线段不含端点上点满足，求线段的长度．
18.本小题分
已知函数．
若函数存在一条对称轴，求的值；
求函数的单调区间；
若函数恰有个零点，求的取值范围．
19.本小题分
在无穷数列中，若，且，则称数列为“数列”设为“数列”，记的前项和为．
若，求的值；
若，求，，的值；
证明：中总有一项为或．
参考答案
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15.【解答】解：
设，由题意，化简得，所以动点的轨迹方程为；
由及点，所以，由知点处的切线斜率为，所以直线方程为，令，则，又直线：与联立得，，所以，所以面积为．
16.解：连接，设，连接，，
因为平面，平面，
平面平面，
所以．
三棱台中，有，
又为线段的中点，所以，
所以四边形为平行四边形．
所以是的中点，所以中，得点是的中点．
过点作交于，连接．
因为，即，，
由知，，所以，，
又因为，平面，，
所以平面因为平面，所以．
又三角形为等腰直角三角形，为斜边的中点，所以，且．
又因为，，平面，所以平面．
因为平面，所以，
由，，，平面，所以平面，
所以，故为二面角的平面角．
在中，，，，
所以在中，，，，所以，
所以，
所以二面角的余弦值为．

17.【解答】解：
在中，，，由正弦定理得，又因为三角形周长为，所以，所以，所以，即为正三角形，所以；
如图，在等边中，作于，设，所以，，因为，所以，，，所以，又，所以，所以．
18.解：
因为函数，所以函数定义域为，且函数存在一条对称轴，故对称轴为，所以
，即，所以，故，当且仅当时上式恒成立，故；
由题意，当时，有，且，所以，故的单调减区间为；当时，令，，且当时，，当时，，所以的单调增区间为，单调减区间为；
由知，，所以，故，令，，所以，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以的解为或，当时，有，因为，所以，故在有一个零点，又因为，此时有个零点，满足题意；当时，有，因为，所以，故在有一个零点，又因为，此时有个零点，满足题意，所以的取值范围为
或．
19.解：解：若，则不满足，若，满足，，满足，，满足，若，，所以不满足，综上，，，；
解：当时，中的各项依次为，，，，，，，，，，，，，即数列从第项开始每项是一个周期，所以，，，，所以时，；所以；
证明：首先证明：一定存在某个，使得成立，若对每一个，都有，则在为完全平方数时，必有；在不为完全平方数时，则必存在，使得为完全平方数，则存在不小于的最小的完全平方数，满足，即存在，使得，则，即每一个完全平方项及其后一项递减，如此进行下去，出现小于或等于的项，对每一个，都有矛盾，所以必定存在某个，使得成立，经检验，当时，中出现；当，，时，中出现，综上，中总有一项为或．
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