2024-2025学年山西省名校高一上学期10月联合考试数学试题（含答案）

2024-2025学年山西省名校高一上学期10月联合考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.金钱豹是猫科豹属中的一种猫科动物根据以上信息，可知“甲是猫科动物”是“甲是金钱豹”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放语文书和英语书，已知每本英语书厚，每本语文书厚，语文书和英语书共本恰好摆满该书架，则书架上英语书的本数为( )
A. B. C. D.
5.若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
7.已知是的充分不必要条件，是的充要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.学校统计某班名学生参加音乐、科学、体育个兴趣小组的情况，其中有名学生参加了音乐小组，有名学生参加了科学小组，有名学生参加了体育小组，有名学生只参加了个兴趣小组，有名学生只参加了个兴趣小组，则个兴趣小组都没参加的学生有( )
A. 名 B. 名 C. 名 D. 名
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知命题有些三角形是轴对称图形，命题梯形的对角线相等，则( )
A. 是存在量词命题 B. 是全称量词命题 C. 是假命题 D. 是真命题
10.由无理数引发的数学危机一直延续到世纪直到年，德国数学家戴德金从连续性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每个元素都小于中的每个元素，称为戴德金分割下列结论正确的是( )
A. ，是一个戴德金分割
B. 存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，没有最小元素
C. 存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，有一个最小元素
D. 存在一个戴德金分割，使得没有最大元素，也没有最小元素
11.已知，，且，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“，”的否定是 ．
13.已知，，且，则的最小值是 ．
14.某班班主任为了解某组学生对羽毛球、篮球和乒乓球的喜爱情况，经调查发现喜欢羽毛球的人数多于喜欢篮球的人数，喜欢篮球的人数多于喜欢乒乓球的人数，喜欢乒乓球的人数的倍减去多于喜欢羽毛球的人数，且每位学生只喜欢其中一种球类运动项目，则该组学生喜欢羽毛球、篮球和乒乓球这三种球类运动项目的人数至少为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
当时，求
若，求的取值范围．
16.本小题分
已知，，且．
证明：
求的最小值．
17.本小题分
已知关于的方程有实根，关于的方程的解．
若是真命题，求的取值范围
若和中恰有一个是真命题，求的取值范围．
18.本小题分
某企业要建造一个形如长方体的体育馆，其地面面积为平方米，高为米已知甲工程队报价如下：馆顶的造价为每平方米元，由于利用现成的水泥地面，因此地面不需要花钱，体育馆前、后两侧墙壁的造价为每平方米元，左、右两侧墙壁的造价为每平方米元设体育馆前墙长为米．
当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低
现有乙工程队也参与该体育馆的建造竞标，其给出的整体报价为元，且报价低的工程队竞标成功若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
19.本小题分
已知集合，，若对任意的整数，，和中至少有一个是集合的元素，则称集合具有性质．
判断集合是否具有性质，并说明理由．
若集合具有性质，证明：，且．
当时，若集合具有性质，且，，求集合．
参考答案
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12.，
13.
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15.解：由题意可得，
则，
当时，
则．
因为，所以A.
当时，，解得
当时，则解得
综上，的取值范围是或．
16.证明：因为，，所以，，
所以．
因为，所以，即，
当且仅当，即时，等号成立，
故
解：因为，
所以，
所以
．
因为，，
所以，
当且仅当，即，
即或时，等号成立，
则，
即的最小值是．
17.解：由，得．
因为是真命题，所以或，即或，
解得或，
即的取值范围是或．
由是真命题，得，
即，解得
故是真命题时，的取值范围是．
当是真命题，是假命题时，则
当是假命题，是真命题时，则
综上，的取值范围是或．
18.解：因为体育馆前墙长为米，地面面积为平方米，所以体育馆的左、右两侧墙的长度均为米，设甲工程队报价为元，则，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以当前墙的长度为米时，甲工程队报价最低为元；
根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，因为，，当且仅当，即时，等号成立，所以，故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
19.解：因为，，，，，都是集合的元素，
所以集合具有性质．
证明：令因为集合具有性质，
所以和中至少有一个是集合的元素．
因为，所以，
所以不是集合的元素，
所以是集合的元素，即是集合的元素．
因为，所以．
因为，
所以，
所以，，，．
解：由可知，则，
即，，，，
所以，所以．
因为，所以，所以，
则或．
当时，，，，，
故集合
当时，，，，，
故集合．
因为，，
所以不符合题意．
综上，集合．
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