2024-2025学年广东省部分学校高二（上）第一次联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省部分学校高二（上）第一次联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.点是棱长为的正方体的底面上一点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，则向量在向量上的投影向量( )
A. B. C. D.
4.在棱长为的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知四棱锥，底面为平行四边形，，分别为棱，上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为( )
A.
B.
C.
D.
6.在四面体中，空间的一点满足，若共面，则( )
A. B. C. D.
7.已知，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球与其四个面均相切的球，图中作为球如图：已知粽子三棱锥中，，、、分别为所在棱中点，、分别为所在棱靠近端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面或平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅则肉馅与整个粽子体积的比为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是( )
A.
B. 向量与所成角的余弦值为
C. 平面的一个法向量是
D. 点到平面的距离为
10.在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的是( )
A. 当时，点在棱上 B. 当时，点到平面的距离为定值
C. 当时，点在以，的中点为端点的线段上 D. 当时，平面
11.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片达样的达芬奇方砖拼成图的组合，这个组合再转换成图所示的几何体若图中每个正方体的棱长为，则( )
A.
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 点到直线的距离是
D. 异面直线与所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，是的中点，点为上一点，则当 ______时，．
13.四棱锥中，底面，底面是正方形，且，，是的重心，则与平面所成角的正弦值为______．
14.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素安装灯带可以勾勒出建筑轮那，展现造型之美如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形若，，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在长方体中，，，点在棱上移动．
当点在棱的中点时，求平面与平面所成的夹角的余弦值；
当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值．
16.本小题分
如图所示，直三棱柱中，，，，，分别是，的中点．
求的长；
求的值．
求证：平面．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．
求直线与平面所成角的正切值；
在上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
18.本小题分
如图，在边长为的菱形中，，点，分别是边，的中点，，沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图所示的五棱锥．
在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；
若平面平面，线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，四棱锥中，四边形是菱形，平面，，分别是线段和上的动点，且．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值的最大值；
若直线与线段交于点，于点，求线段长的最小值．
参考答案
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15.解：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
当点在棱的中点时，则，，
，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则有，令，则，，
所以平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面所成的夹角的余弦值为；
设，则，，，
，，
则，，，，
设平面的一个法向量为，
则有，令，则，，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则，
令，
则，
故当时，取得最小值，最小值为．
16.解：如图，建立以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系．
依题意得，，
；
依题意得，，，，，
，，，，，
所以．
证明：，，，．
，
，
，，即，，
又平面，平面，，
平面．
17.解：取的中点为，连接，，
因为，所以，又平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，又，所以，
，，所以，，所以，
所以以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则由，，可得，即，
令，则，，
可得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
，
所以，所以，
所以直线与平面所成角的正切值；
在上存在点，使得，
所以，所以，
所以，所以，
因为平面，所以，
即，解得，
所以存在点，当时，有平面．
18.解：在翻折过程中总有平面平面，证明如下：
点，分别是边，的中点，
，
又因为菱形中 ，
是等边三角形，
是的中点，
，
菱形的对角线互相垂直，
，，
，平面，平面，
平面，
平面，
平面，
平面平面．
假设符合题意的点存在，由于平面平面，
则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
因为平面，故平面的一个法向量为，
设，
，，
，
，
设平面的一个法向量为，则，
则可取，
则，解得，
所以存在点，且，使得平面与平面所成角的余弦值为．
19.证明：由于四边形是菱形，且，
取中点，则，
又平面，可以为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
由，可知，
所以，
易知是平面的一个法向量，
显然，且平面，
故EF平面；
解：由可知，
设平面的一个法向量为，
则由，，可得，
令，则，
则平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
易知时，，
即此时取得最大值；
解：设
则，由于，，共线，
不妨设，易知，
则有，即，
所以，
则，
即
，
记，则，
易知恒成立，所以，
即在上单调递减，
所以，故，
即线段的最小值为．
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