函数的概念与性质单元检测(2019人教A版)
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(22-23高一上·山西·阶段练习)函数的值域为( )
A. B.
C. D.
2.(23-24高一上·山东青岛·阶段练习)函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为( )
A. B.
C. D.
3.(22-23高一上·河南南阳·阶段练习)已知一次函数满足,则( )
A.12 B.13 C.14 D.15
4.(2023·广西·模拟预测)已知定义在上的函数在上单调递减,且为偶函数,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
5.(23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习)若函数满足对任意的实数,都有成立,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.(23-24高一上·广东佛山·阶段练习)已知函数,,设函数,则下列说法错误的是( )
A.是偶函数 B.函数有两个零点
C.在区间上单调递减 D.有最大值,没有最小值
7.(24-25高三上·四川南充·开学考试)已知函数的定义域为,则的定义域为( )
A. B. C. D.
8.(22-23高一上·广东深圳·期中)已知函数,若存在,使成立,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(22-23高一上·福建福州·期中)下列说法正确的是( )
A.若幂函数的图象经过点,则解析式为
B.若函数,则在区间上单调递减
C.幂函数始终经过点和
D.若幂函数图像关于轴对称,则
10.(23-24高三上·湖南·阶段练习)已知函数的定义域和值域均为,则( )
A.函数的定义域为 B.函数的定义域为
C.函数的值域为 D.函数的值域为
11.(23-24高一上·四川泸州·期末)已知函数的定义域为R,满足,且,则( )
A.
B.为奇函数
C.
D.
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分,把答案填在题中的横线上)
12.(2024高三·全国·专题练习)已知f(x+)=x2+,则函数f(x)= .
13.(23-24高一上·河南郑州·阶段练习)已知定义域为的奇函数,则的解集为_______.
14.(23-24高三下·重庆·阶段练习)设是定义在上的单调增函数,且满足,若对于任意非零实数都有,则 .
四、解答题(本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15. (13分) (24-25高一上·上海·随堂练习)求下列函数的值域:
(1),;
(2);
(3).
16. (15分) (22-23高一上·安徽宣城·期中)根据下列条件,求的解析式
(1)已知满足
(2)已知是一次函数,且满足;
(3)已知满足
17. (15分) (22-23高二下·山东聊城·阶段练习)某企业为进一步增加市场竞争力,计划在2023年利用新技术生产某款新手机,通过市场调研发现,生产该产品全年需要投入研发成本250万元,每生产(千部)手机,需另外投入成本万元,其中,已知每部手机的售价为5000元,且生产的手机当年全部销售完.
(1)求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式;
(2)当年产量为多少时,企业所获得的利润最大?最大利润是多少?
18. (17分) (23-24高一上·江苏南京·阶段练习)已知函数是定义在上的奇函数,且.
(1)求函数的解析式;
(2)判断在上的单调性,并用单调性定义证明;
(3)解不等式.
19. (17分) (22-23高一上·辽宁沈阳·阶段练习)已知定义域为,对任意都有,当时,,.
(1)试判断在上的单调性,并证明
(2)解不等式:函数的概念与性质单元检测(2019人教A版)
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(22-23高一上·山西·阶段练习)函数的值域为( )
A. B.
C. D.
2.(23-24高一上·山东青岛·阶段练习)函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为( )
A. B.
C. D.
3.(22-23高一上·河南南阳·阶段练习)已知一次函数满足,则( )
A.12 B.13 C.14 D.15
4.(2023·广西·模拟预测)已知定义在上的函数在上单调递减,且为偶函数,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
5.(23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习)若函数满足对任意的实数,都有成立,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.(23-24高一上·广东佛山·阶段练习)已知函数,,设函数,则下列说法错误的是( )
A.是偶函数 B.函数有两个零点
C.在区间上单调递减 D.有最大值,没有最小值
7.(24-25高三上·四川南充·开学考试)已知函数的定义域为,则的定义域为( )
A. B. C. D.
8.(22-23高一上·广东深圳·期中)已知函数,若存在,使成立,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(22-23高一上·福建福州·期中)下列说法正确的是( )
A.若幂函数的图象经过点,则解析式为
B.若函数,则在区间上单调递减
C.幂函数始终经过点和
D.若幂函数图像关于轴对称,则
10.(23-24高三上·湖南·阶段练习)已知函数的定义域和值域均为,则( )
A.函数的定义域为 B.函数的定义域为
C.函数的值域为 D.函数的值域为
11.(23-24高一上·四川泸州·期末)已知函数的定义域为R,满足,且,则( )
A.
B.为奇函数
C.
D.
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分,把答案填在题中的横线上)
12.(2024高三·全国·专题练习)已知f(x+)=x2+,则函数f(x)= .
13.(23-24高一上·河南郑州·阶段练习)已知定义域为的奇函数,则的解集为_______.
14.(23-24高三下·重庆·阶段练习)设是定义在上的单调增函数,且满足,若对于任意非零实数都有,则 .
四、解答题(本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15. (13分) (24-25高一上·上海·随堂练习)求下列函数的值域:
(1),;
(2);
(3).
16. (15分) (22-23高一上·安徽宣城·期中)根据下列条件,求的解析式
(1)已知满足
(2)已知是一次函数,且满足;
(3)已知满足
17. (15分) (22-23高二下·山东聊城·阶段练习)某企业为进一步增加市场竞争力,计划在2023年利用新技术生产某款新手机,通过市场调研发现,生产该产品全年需要投入研发成本250万元,每生产(千部)手机,需另外投入成本万元,其中,已知每部手机的售价为5000元,且生产的手机当年全部销售完.
(1)求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式;
(2)当年产量为多少时,企业所获得的利润最大?最大利润是多少?
18. (17分) (23-24高一上·江苏南京·阶段练习)已知函数是定义在上的奇函数,且.
(1)求函数的解析式;
(2)判断在上的单调性,并用单调性定义证明;
(3)解不等式.
19. (17分) (22-23高一上·辽宁沈阳·阶段练习)已知定义域为,对任意都有,当时,,.
(1)试判断在上的单调性,并证明
(2)解不等式:
参考答案:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B D B B C D CD ABC
题号 11
答案 ACD
1.A
【分析】设,化简函数为,结合二次函数的性质,即可求解.
【详解】设,则,且,
则函数可化为,
所以函数的值域为.
故选:A.
2.B
【分析】利用二次函数的图象得出的正负,结合幂函数特点可得答案.
【详解】对于A,二次函数开口向下,所以,此时与图中符合;
对于B,二次函数开口向上,所以,此时在为增函数,不符合;
对于C,二次函数开口向上,所以,此时在为增函数,符合;
对于D,二次函数开口向上,所以,此时在为增函数,符合;
故选:B.
3.B
【分析】根据待定系数法可得函数解析式,进而即得.
【详解】设,则,
因为,
所以,解得,
所以,.
故选:B.
4.D
【分析】由为偶函数求得函数对称轴,再结合函数的单调性进行求解即可.
【详解】∵函数为偶函数,∴,即,
∴函数的图象关于直线对称,
又∵函数定义域为,在区间上单调递减,
∴函数在区间上单调递增,
∴由得,,解得.
故选:D.
5.B
【分析】根据对任意,都有成立可判断是上的减函数,通过各段上的单调性分析及区间端点函数值的比较,列出不等式组求解即可.
【详解】由题意可知:
对任意的实数,都有成立,是上的减函数,
,解得,
实数的取值范围是.
故选:B.
6.B
【分析】画出函数的图象,数形结合对各个选项逐个判断即可.
【详解】在同一直角坐标系中,画出函数,的图象,
从而得函数图象,如图实线部分:
对于A,因为函数图象关于y轴对称,所以是偶函数,正确;
对于B,根据零点的定义结合函数的图象知,函数有三个零点,分别为,错误;
对于C,从函数图象观察得在区间上单调递减,正确;
对于D,从函数图象观察得有最大值,没有最小值,正确;
故选:B
7.C
【分析】由题意求出的定义域,结合函数列出相应不等式组,即可求得答案.
【详解】由题意可知函数的定义域为,即,
故,则的定义域为,
则对于,需满足,
即的定义域为,
故选:C
8.D
【分析】对进行分类讨论,结合直线、抛物线的知识求得的取值范围.
【详解】,
,过定点,
开口向上,对称轴,
当时,在递减,在递增,最小值为,
根据直线和抛物线的知识可知:存在,使成立.
当时,,,
所以存在,使成立,
当时,在上递增,在递增,
即在上递增,所以不存在符合题意的.
当时,在上递增,在上递减,在上递增,
根据直线和抛物线的知识可知:存在,使成立.
综上所述,的取值范围是.
故选:D
【点睛】对于含有参数的分段函数的分析,关键在于对参数进行分类讨论,本题中,涉及直线、抛物线,参数与直线的单调性、抛物线的对称轴(单调性)有关,由此可确定分类的标准,从而使分类做到“不重不漏”
9.CD
【分析】A选项,代入点的坐标,得到;B选项,判断出为偶函数,且在上单调递减,故在上单调递增;C选项,因为,所以,,故C正确;D选项,先根据函数为幂函数和图像关于轴对称,得到,再判断出,结合函数单调性比较出大小.
【详解】A选项,设,将代入,,即,
解得,故解析式为,A错误;
B选项,因为,所以在上单调递减,
又定义域为,,
故为偶函数,故在上单调递增,B错误;
C选项,因为,所以,,
故幂函数始终经过点和,C正确;
D选项,由题意得,解得或,
当时,为偶函数,满足图像关于轴对称,
当时,为奇函数,不满足图像关于轴对称,舍去,
其中恒成立,
故,
又在上单调递增,故,D正确.
故选:CD
10.ABC
【分析】根据抽象函数的定义域列不等式求解判断AB;求出抽象函数的值域判断CD.
【详解】函数中的x需满足,解得,
故函数的定义域为,故A正确;
函数中的x需满足解得,
故函数的定义域为,故B正确;
函数和的值域都为,故C正确,D错误.
故选:ABC.
11.ACD
【分析】采用赋值法为突破口,分析函数的有关性质.
【详解】对A:令,,则,
因为,所以,故A正确;
对B:令得:,结合可得,
所以为偶函数,故B错误;
对C:令可得:,因为,
所以,
进一步可得:,
又,,故,
故,依次有,
所以,故C正确;
对D:令可得:;
用代替,得:,
结合C的结果,可得:,故D正确.
故选:ACD
【点睛】关键点睛:如何赋值是解决问题的关键.AB相对简单,对C,令得到后进一步可得到数列相邻项之间的关系,可求结果,对D,用和用代替,是解决问题的关键.
12.x2-2(|x|≥2)
【详解】配凑法. f(x+)=x2+=(x2+2+)-2=(x+)2-2,所以f(x)=x2-2(|x|≥2).
13.
【分析】根据奇函数的性质及定义域的对称性,求得参数a,b的值,求得函数解析式,并判断单调性. 等价于,根据单调性将不等式转化为自变量的大小关系,结合定义域求得解集.
【详解】由题知,,
所以恒成立,即.
又因为奇函数的定义域关于原点对称,
所以,解得,
因此,,
由单调递增,单调递增,
易知函数单调递增,
故等价于
等价于
即,解得.
故答案为:
14.2021
【分析】利用赋值法求解,令,则,再令,结合题意中条件求得,可求得,进而可得结果.
【详解】令,则,
令,则,解得或.
而,则,故,因此.
则,
即.
因此或,
当时,,在上单调递减,不满足题意,舍去;
当时,满足题意.
则.
故答案为:
【点睛】方法点睛:求解抽象函数解析式问题的方法:
(1)若根据已知可推知函数模型时,可利用待定系数法求解;
(2)若无法推知函数模型,一般结合赋值法,通过解方程(组)法求解.其中,方程或者是已知的,或者是利用已知的抽象函数性质列出的,或者是利用已知方程变换出来的.
15.(1)
(2)
(3).
【分析】(1)判断函数的单调性,求出区间端点函数值,即可得解;
(2)首先求出函数的定义域,即可求出的取值范围,从而得解;
(3)利用分离常数法及反比例函数的性质计算可得.
【详解】(1)因为,,
所以在上单调递增,
又,,
∴函数,的值域为.
(2)令,即,解得,
所以的定义域为,
又∵,∴,
故,
∴的值域为.
(3)因为,
又,所以,
∴函数的值域为.
16.(1)
(2)
(3)
【分析】(1)利用换元法即可求解;
(2)设,然后结合待定系数法即可得解;
(3)由题意可得,利用方程组思想即可得出答案.
【详解】(1)解:令,则,
故,
所以;
(2)解:设,
因为,
所以,
即,
所以,解得,
所以;
(3)解:因为①,
所以②,
②①得,
所以.
17.(1)
(2)当年产量为52(千部)时,企业所获利润最大,最大利润是5792万元.
【分析】(1)根据利润等于收入减去成本即可求出结果;
(2)根据(1)求出的函数关系式直接求最大值即可.
【详解】(1)当时,,
当时,,
所以.
(2)当时,,
∴当时,,
当时,
,
当且仅当,即时,,
因此当年产量为52(千部)时,企业所获利润最大,最大利润是5792万元.
18.(1),
(2)减函数;证明见解析;
(3)
【分析】(1)根据奇函数的性质和求解即可.
(2)利用函数单调性定义证明即可.
(3)首先将题意转化为解不等式,再结合的单调性求解即可.
【详解】(1)函数是定义在上的奇函数,
;,解得,
∴,而,解得,
∴,.
(2)函数在上为减函数;
证明如下:任意且,则
因为,所以,又因为,
所以,所以,
即,所以函数在上为减函数.
(3)由题意,,又,所以,
即解不等式,所以,
所以,解得,
所以该不等式的解集为.
19.(1)函数在上单调递减,证明见解析
(2)
【分析】(1)由单调性的定义结合已知条件证明即可
(2)结合条件将所求不等式化为,由函数的单调性解出不等式即可.
【详解】(1)函数在上单调递减,证明如下:
任取,且,
可得
,
因为,且时,,
所以,
所以
即,
所以在上单调递减.
(2)令,得,
∴
∴
∴,
又在上的单调递减且
∴,
∴.
∴,
即不等式解集为