2024年北京市杨镇一中高二10月月考数学（PDF版，无答案）

2024北京杨镇一中高二 10月月考
数 学
本试卷共 4 页，满分 150 分.考试时长 120 分钟.
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1.已知集合 A = 0,1,2 ， B = 2,3 ，那么集合 A B等于（ ）
A. 2 B. 1, 2 C. 2,3 D. 0,1, 2
2.某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一、高二这两个年级共 500 名学生中，采用分层抽
样的方法抽取 50 人进行调查.已知高一年级共有 300 名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为（ ）
A.10 B.20 C.30 D.40
3.不等式 x (x 1) 0 的解集为（ ）
A. x 0 x 1 B. x 1 x 0
C. x x 0或x 1 D. x x 1或x 0
4.在△ABC 中， a = 4， A = 45 ， B = 60 ，则b =（ ）
A. 2 2 B. 2 3 C. 2 6 D. 4 2
5. sin15 cos15 =（ ）
1 3 1 3
A. B. C. D.
4 4 2 2
6.向量 a ，b 在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长为 1，则 a b =（ ）
A.2 B. 5 C. 2 2 D.3
7.如图，在长方体OABC O1A1B1C1 中，OA = 4，OC = 6 ，OO1 = 2 ，点 P 是B1C1 的中点，则点 P 的
坐标为（ ）
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A. (2,6, 2) B. (3, 4, 2) C. (4,6, 2) D. (6, 2,1)
8.已知a = (1,2,0)，b = ( 2,0,1)， a 与的夹角为 ，则（ ）
1
A. a ⊥ b B. a∥b C. a = b D. cos =
2
2
9.如图，空间四边形OABC 中，OA = a，OB = b ，OC = c，点M 在OA上，且OM = OA，点 N 为
3
BC 中点，则MN 等于（ ）
1 1 1 2 1 1
A. a + b c B. a + b + c
2 2 2 3 2 2
2 2 1 2 2 1
C. a + b c D. a + b c
3 3 2 3 3 2
10.在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C E F1D1 中， ， ，G 分别为棱 AA1 ， BC ，CC1 的中点，动点 H
在平面 EFG 内，且 DH =1 .则下列说法正确的是（ ）
A.存在点 H ，使得直线 DH 与直线 FG 相交
B.存在点 H ，使得直线 DH ⊥平面 EFG
π
C.直线 B1H 与平面 EFG 所成角的大小为
3
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3 3
D.平面 EFG 被正方体所截得的截面面积为
2
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分
11.已知向量a = (1,m,3)，b = (2,4,6) .若 a∥b ，则实数m = ______.
12. sin13 cos32 + cos13 s in 32 = ______.
13.已知△ABC 中， A = 45 ， AB = 2 2 ， AC = 3，那么 BC = ______.
14.如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中， AB =1， AA1 = 2， D 为 B1B 的中点，则异面直线 A1B 与C1D
所成角的余弦值为______.
15.如图，在多面体 ABCDES 中， SA ⊥平面 ABCD，四边形 ABCD是正方形，且 DE∥SA，
SA = AB = 2DE = 2，M ， N 分别是线段 BC ， SB 的中点，Q 是线段DC 上的一个动点（含端点 D ，
C ），则下列说法正确的是______
（1）存在点Q ，使得 NQ ⊥ SB ；
（2）存在点Q ，使得异面直线 NQ与 SA所成的角为 60°；
2
（3）三棱锥Q AMN 体积的最大值是 ；
3
（4）当点Q 自 D 向C 处运动时，直线 DC 与平面QMN 所成的角逐渐增大.
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 85 分.应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题共 15 分）
π
已知函数 f (x) = Asin x + ， f (0) =1.
6
（Ⅰ）求 A ；
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（Ⅱ）函数 f ( x)的最小正周期；
（Ⅲ）求函数 f ( x)的最小值及相应的 x的值.
17.（本小题共 15 分）
1
在△ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，已知 a = 2， c = 3，cos B = .
4
（Ⅰ）求b 的值；
（Ⅱ）求 sin C 的值；
（Ⅲ）求△ABC 的面积.
18.（本小题共 15 分）
如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，CA = CB =1， BCA = 90 ，棱 AA1 = 2， N 为 A1A的中点.
（Ⅰ）求 BN B1C ；
（Ⅱ）求直线 A1B 与B1C 所成角的余弦值.
19.（本小题共 15 分）
如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AD = AA1 =1， AB = 2 ， E 为 AB 的中点.
（Ⅰ）证明： D1E ⊥ A1D；
（Ⅱ）求点 E 到平面 ACD1 的距离；
（Ⅲ）求平面 AD1E 与平面 ACD1 夹角的余弦值
20.（本小题共 13 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA ⊥平面 ABCD， AD ⊥ CD ， AD∥BC ， PA = AD = CD = 2，
PF 1
BC = 3 . E 为 PD的中点，点 F 在 PC 上，且 = .
PC 3
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（Ⅰ）求证：CD ⊥平面 PAD ；
（Ⅱ）求直线 PC 与面 AEF 所成角的正弦值；
PG
（Ⅲ）在线段 PB 上是否存在点G ，使得 A 、 E 、 F 、G 四点共面，如果存在求出 的值；如果不存
PB
在说明理由.
21.（本小题共 12 分）
已知 是棱长为 2 的正四面体 ABCD，设 的四个顶点到平面 的距离所构成的集合为M ，若M 中
元素的个数为 k ，则称 为 的 k 阶等距平面，M 为 的 k 阶等距集.
（Ⅰ）若 为 的 1 阶等距平面且 1 阶等距集为 a ，求a的所有可能值以及相应的 的个数；
（Ⅱ）已知 为 的 4 阶等距平面，且点 A 与点 B ，C ， D 分别位于 的两侧.若 的 4 阶等距集为
b, 2b,3b, 4b ，其中点 A 到 的距离为b ，求平面 BCD与 夹角的余弦值.
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