重庆市北碚区朝阳中学2024-2025学年高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆市北碚区朝阳中学高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设空间向量，，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.已知空间向量，，则以为单位正交基底时的坐标为( )
A. B. C. D.
3.点关于轴的对称点为，则( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
4.已知空间向量，若共面，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.已知，则在方向上的投影为( )
A. B. C. D.
6.如图，在平行六面体中，，，，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.如图，已知正四棱锥的所有棱长均为，为的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
10.下列说法错误的是( )
A. 若，，，是空间任意四点，则有
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 若共线，则
D. 对空间任意一点与不共线的三点，，，若其中，，，则，，，四点共面
11.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，则( )
A. 平面
B. 异面直线与所成的角是
C. 点到平面的距离是
D. 平面截正方体所得图形的周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.为空间任意一点，若，若四点共面，则 ______．
13.在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，点满足，则 ______．
14.九章算术中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形状体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱如图，在堑堵中，，分别是，的中点，，动点在线段上运动，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在正方体中，点在上，且，点在上，且求证：
；
．
16.本小题分
在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点．
用向量，，表示，；
若，求实数，，的值．
17.本小题分
如图，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，是的中点，是底面圆周上一点，．
求的值；
求异面直线与所成角的余弦值．
18.本小题分
如图，在中，，于现将沿折叠，使为直二面角如图，是棱的中点，连接、、．
证明：平面平面；
若，且棱上有一点满足，求二面角的正弦值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，点在上，且，设点是线段上的一点．
求证：平面；
若判断直线是否在平面内，说明理由．
设与平面所成角为，求的范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，
则，，，，
，，
则，，．
，，即；
，，即．
16.解：，
，
，，．
17.解：中，，，，
根据余弦定理，．
如图，以点为原点，，为轴和轴，过点作为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，
设异面直线与所成角为，
则，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
18.证明：在图中，，是的中点，
，又为直二面角，，
底面，而平面，
，且，平面平面，
因此平面，又平面，
平面平面；
解：以、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
因，所以，那么，
设平面的法向量，
由且，得且，取，则，
设平面的一个法向量，，
则，即，令，则，所以，
于是，
所以二面角的正弦值为．
19.解：证明：因为平面，平面，所以，
又因为，、是平面内相交直线，故CD平面，
以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，，故
因为，且、、有公共点，故直线在平面内；
由可知，
设，
则，
故
，
令，
则，
而，，故．
第1页，共1页