天津市第二南开学校2024-2025学年高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市第二南开学校高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.与向量平行的一个向量的坐标是( )
A. B. C. D.
2.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，分别是直线与平面的方向向量、法向量，若，，则与所成的角为( )
A. B. C. D.
4.在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为( )
A. B. C. D.
5.设，则“”是“直线：与直线：平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知点和，在轴上求一点，使最小，那么点的坐标为( )
A. B. C. D.
7.已知点是棱长为的正方体的底面上一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知点，的坐标分别为，，直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
9.关于空间向量，以下说法正确的有( )
若直线的方向向量，平面的法向量，则
若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
若空间四个点，，，满足，则，，三点共线
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.直线在两坐标轴上的截距相等，则实数 ______．
11.已知直线的方程为，若直线的斜率为，则的值为______．
12.无论为何值，直线：恒过一定点，则点的坐标为______．
13.已知，，，若三向量共面，则实数 ______．
14.如图，正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动，则的面积的最小值为______．
15.直线：的倾斜角大于，则的取值范围是________．
三、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
斜率是，且经过点；
经过，两点；
在轴、轴上的截距分别为，；
经过点，且平行于轴．
17.本小题分
已知直线垂直于直线，直线与两坐标轴围成的三角形周长为，求直线的方程．
18.本小题分
直线过点，且与轴和直线围成的三角形的面积为，求直线的方程．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，，分别为，的中点．
求证：平面；
求异面直线与所成角的余弦值；
求与平面所成角的余弦值．
20.本小题分
已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，是的中点，是的中点．
求证平面；
求平面与平面的夹角余弦值；
棱上是否存在点，使其到平面的距离为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.或
11.
12.
13.
14.
15.或
16.解：若直线的斜率是，且经过点，
由点斜式，则该直线的方程为，即；
若直线经过，两点，
由两点式，则该直线的方程为，即；
若直线在，轴上的截距分别是，，
由截距式，则该直线的方程为，即；
若经过点，且平行于轴，则，即．
17.解：由直线垂直于直线，设直线的方程为，
则直线交轴于点，交轴于点，
故，，
依题意，有，解得，
所以直线的方程为或．
18.解：显然到轴的距离是三角形的高，故三角形的高是，
而底高底，
三角形的底是，即直线与轴的交点是或，
当直线与轴的交点是时，直线的方程是：，
直线与轴的交点是时，直线的斜率为，
故直线的方程为，即．
故答案为：或．
19.解：证明：在四棱锥中，平面平面，
平面平面，，平面，
则平面，由为正方形，得，
以点为原点，直线，，分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，
而，分别为，的中点，
则，，，，，
于是，
则有，
即，，
而，，平面，
所以平面；
由知，，
所以异面直线与所成角的余弦值为：
；
由知，，
设平面的一个法向量为，
则有，取，得，
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的余弦值．
20.解：证明：在四棱柱中，
取中点，连接，，
由是的中点，得，且，
由是的中点，得，且，
则，，
于是四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
所以平面；
在四棱柱中，
平面，，则直线，，两两垂直，
以为原点，直线，，分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
则有，，，
设平面的一个法向量为，
则有，取，得，
设平面的一个法向量为，
则有，取，得，
则，
所以平面与平面的夹角余弦值为；
假定在棱上存在点，使其到平面的距离为，
设，，则，
由知，平面的一个法向量为，
则，解得，
即点与点重合，
所以在棱上存在点与点重合，
使其到平面的距离为．
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