2024-2025学年天域联盟名校协作体高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年天域联盟名校协作体高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
3.已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，其图象无限接近直线但又不与该直线相交，则的解集为( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的前项和为，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知抛物线：的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于异于原点的，两点，若在直线上存在点，使得四边形是平行四边形，则( )
A. B. C. D.
7.某游乐场一段滑水道的示意图如下所示，点、点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为两点之间为滑水弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分该三次函数在，两点处取得极值，考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成的夹角，则，两点在水平方向的距离约为( )
A. B. C. D.
8.研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系现从该校抽取某班位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量、、，若、的样本相关系数为，、的样本相关系数为，则、的样本相关系数的最大值为( )
附：相关系数
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图则( )
A. 估计该年级学生成绩的众数为
B.
C. 估计该年级学生成绩的百分位数约为
D. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为
10.已知曲线：点，，则以下说法正确的是( )
A. 曲线关于原点对称
B. 曲线存在点，使得
C. 直线与曲线没有交点
D. 点是曲线上在第三象限内的一点，过点向作垂线，垂足分别为，，则
11.已知，，，，为，，，，的任意排列，设，，，则( )
A. 任意交换，，的顺序，不影响的取值
B. 满足及的排列有个
C. 的概率为
D. 的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，，则的值是______．
13.已知正三棱柱的体积与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为______．
14.定义在上的函数满足：；；，则 ______， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，的面积为，且．
求角；
若为锐角三角形，且，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数，．
当时，求在上的最大值；
求的零点个数．
17.本小题分
如图，四棱锥中，，，，，平面平面，且平面，平面平面．
求四棱锥的体积；
设为上一点，若，求二面角的大小．
18.本小题分
已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴，过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线与轴交于点．
求椭圆的方程；
点是椭圆上异于的一点，且三角形的面积为，求直线的方程；
过点的直线交椭圆于，两点在的左侧，若为线段的中点，直线交直线于点，为线段的中点，求线段的最大值．
19.本小题分
黎曼函数与数论中的素数分布定理和黎曼猜想密切相关是这样定义的：记为复数的实部，当时，有，故对的研究具有重要意义．
已知对任意正整数，都存在唯一的整数和，使得，其中为奇数，为自然数，求；
试判断是否存在正整数，使得，并证明你的结论；
求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，，
所以，
所以，
由余弦定理，得，
故，
又，所以，
所以；
由正弦定理得，
所以，又，，
所以
，
因为为锐角三角形，
则有，，
所以，即，
则，故
即的取值范围是．
16.解：由题意可得，
令，则单调递减，且，
从而当时，，即，单调递增；
当时，，即，单调递减．
故，最大值为，
令，则由，故，
令，则，
从而在上单调递减，在上单调递减．
若，当时，，若，当时，；
若，当时，，当时，．
从而当时，与有一个交点，
时，与有两个交点，
故时，有一个零点；时，有两个零点．
17.解：因为平面，平面，平面平面，
所以，同理得，所以，
因为，，，所以，
所以，
且，
所以且，
底面梯形的高为，
所以底面梯形的面积，
在中，，，，
所以，所以，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
所以四棱锥的体积．
因为，，，所以，即，
所以，，两两垂直，可以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设，
所以，，
因为，所以，
解得，因此，，
设为平面的法向量，
则，
取，则，，即，
因为平面，所以平面的法向量为，
设二面角为，则，
所以由图二面角的大小为．
18.解：由题意知点在上，
因为轴，设椭圆焦距为，则，
将代入中，得，
又在一象限，所以，所以，
因为，所以，解得，，
所以椭圆方程为；
由题意知过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线的斜率不为，
故设：，与椭圆联立，
得，由椭圆与直线只有一个公共点，
则，即，
又：过，则，即，
将代入可得，，解得，则，
所以：，即得点为．
设原点，由，，
故，
从而到的距离为到距离的倍，即在关于对称的直线上，
又在椭圆上，从而，关于对称，
故直线方程为．
设，，，则，
则，
又由，
可得，
结合可得，，
又，，，，
则直线的方程为，
轴，直线与交于，
则，故，
故D轴，从而，当位于椭圆左顶点时取等号，
故线段的最大值为．
19.解：由，，，，，
，，，，，
．
；
不存在，证明如下：
设，其中为奇数，为自然数，
设，，，，，
设，，则．
否则，当时，，与的定义矛盾，故，
则
，其中，
则为奇数，时为偶数，从而分子为奇数，分母为偶数，
则不可能为整数，
不存在这样的，使；
证明：对任意正整数，当时，
，
，
又，
，
从而，
则．
第1页，共1页