2024年湖北省-恩施土家族苗族自治州来凤一中高二9月检测高二数学试卷（含解析）

2024年来凤一中高二9月检测
高二数学试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
2.无论为何值，直线过定点（ ）
A. B. C. D.
3. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为，则这8个点数的中位数为4的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
5. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（ ）
A. 3 B. C. D.
6. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知实数满足，则的范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 三棱锥满足，二面角的大小为，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“直线与直互相垂直”的充要条件
B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件
C. 直线的倾斜角的取值范围是
D. 若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是
10. 若数据，，和数据，，的平均数、方差、极差均相等，则（ ）
A. 数据，，，，，与数据，，的平均数相等
B. 数据，，，，，与数据，，的方差相等
C. 数据，，，，，与数据，，的极差相等
D. 数据，，，，，与数据，，的中位数相等
11. 在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（ ）
A. 当点为三角形的重心时，
B. 当时，的最小值为
C. 当点在平面内时，的最大值为2
D. 当时，点到的距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.通过科学研究发现：地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放的能量分别为，，则______.
13. 已知集合，在M中可重复地依次取出三个数，则“以为边长恰好构成三角形”的概率是________．
14. 已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为__________.
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别为，，，已知.
（1）求角；
（2）若是边上一点， 且满足，，求的最大值．
16. 已知圆，过点的直线与圆交于两点，点满足，其中为坐标原点．
（1）求点的轨迹方程；
（2）若的面积为2，求．
17.如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足，，，点为的中点，点为棱上的动点.
（1）求证：平面；
（2）是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由.
18. 如图1，直角梯形中，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中分别为上下底面直径，点分别在圆弧上，直线平面.
（1）证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正切值等于，求到平面的距离；
（3）若平面与平面夹角的余弦值为，求．
19. 过点作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线．
（1）已知直线：，直线：，试问是否存在点，使得直线，是定积直线？请说明理由．
（2）在中，为坐标原点，点与点均在第一象限，且点在二次函数的图象上．若直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，求点的坐标．
（3）已知直线与是定积直线，设点到直线，的距离分别为，，求的取值范围．
1.A
由题意得，
故选：A
2.A
由得：，
由得
∴直线恒过定点.故选A.
3.D
由题意，
当时，8个点数的中位数为3.5；
当时，8个点数的中位数为4；
当时，8个点数的中位数为4.5，
则8个点数的中位数为4的概率为.
故选:D.
4.A
因为定义在上的函数满足，
所以是奇函数，且，故，解得，
故当时，，由奇函数性质得，
而，故，故A正确.
故选：A
5.C
由题意可知：，
则
，
所以.
故选：C.
6.C
由题意可知的定义域为，
又因为函数是“函数”，故其值域为；
而，则值域为；
当时，，
当时，，此时函数在上单调递增，则，
故由函数是“函数”可得，
解得，即实数的取值范围是，
故选：C
7.A
表示函数图象上的点与的连线的斜率，
结合图象可知，斜率分别在与（相切时）处取最大值和最小值，
所以的范围是.故选A.
8.C
设，则，
因为
，
所以，解得：，
即，可知，
过作，连接，则，
可知，且二面角的平面角为，
则为等边三角形，即，
设，因为，
即，解得：或，
可知点与点A重合或与点B重合，两者是对称结构，不妨取点E与点A重合，
则，，由，平面，则平面，
且为二面的平面角，可知为等边三角形，
可将三棱锥补充直棱柱，如图所示，
为底面正的外心，即，
为的外接球球心，可知，且，
则三棱锥的外接球半径，
所以外接球的体积.
故选：C.
9.BCD
对于选项A：当时，直线与直线斜率分别为1，，
斜率之积为，故两直线相互垂直，即充分性成立；
若“直线与直线互相垂直”，
则，故或，
所以得不到，即必要性不成立，故A错误；
对于选项B：由直线平行得，解得，
所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确；
对于选项C：直线的倾斜角为，则，
因为，所以，故C正确；
对于选项D：如图所示：
可得，，结合图象知，故D正确；
故选：BCD.
10.ABC
设数据的平均数为，数据的平均数也为.
那么数据的平均数为，
所以数据与数据的平均数相等，A选项正确.
设数据的方差为，数据的方差也为.对于数据，
其方差计算为,
所以数据与数据的方差相等，B选项正确.
设数据的极差为，数据的极差也为.
对于数据，其极差是这六个数中的最大值减去最小值，
由于前面两组数据的极差相等，所以组合后数据的极差依然是，
所以数据与数据的极差相等，C选项正确.
设数据按从小到大排列为，中位数为.
设数据按从小到大排列为，中位数为.
对于数据按从小到大排列后，中位数不一定是，
所以数据与数据的中位数不一定相等，D选项错误.
故选：ABC
11.BCD
对于A，当点为三角形的重心时，，
所以，又因为，
所以，所以，故A错误；
对于B，
，
因为，所以，
则
，
当且仅当时取等号，
所以，
所以，所以的最小值为，故B正确；
对于C，当点在平面内时，
则存在唯一实数对使得，
则，又因为，
所以，所以，
因为，所以，所以的最大值为2，故C正确；
对于D，当时，由A选项知，
，
在方向上的投影为，
所以点到的距离，
因为，所以，当且仅当时，取等号，
所以点到的距离的最小值为，故D正确.
故选：BCD.
12.1000
由题知，.
13.##0.625
从两个数里取三次，共有种情况，
只有三种情况无法构成三角形，
且设概率为，所以.
故答案为：
14.
令，可得，
所以，所以或，
由，又，可得，解得或，
方程无解，方程有一解，故有一解，
要使函数有三个零点，
则有两解，即与的图象有两个交点，
作出函数的图象的示图如下：
由图象可得，解得.
所以的取值范围为.
故答案为：.
15.(1)因，即，
由正弦定理可得，
且，
即，可得，
且，则，可得，
又因为，所以.
(2)因为，即，
可得，即，
可知平分，则，
因，
即，整理可得，
又因为，
则，
当且仅当，即，时取等号，
可得，所以的最大值为.
16.(1)
由可得点为线段的中点，设，
圆方程化为标准方程为，所以圆心，半径，
所以，
因为，所以，
整理可得，
所以点的轨迹方程为，
(2)设圆心到直线的距离为，
因为为的中点，且，的面积为2，，
所以，即，解得，
由弦长公式可得.
17.（1）因为平面，，平面，
所以，，又，所以，，两两垂直.
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示，
则，，，，
因为点为中点，所以，，
又，，
所以，
所以，，为共面向量，
则在平面内存在直线与平面外的直线平行，所以平面.
（2）设，，，，
依题意可知，平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则令，则.
因为平面与平面所成角的余弦值为，
所以，即，
解得或，所以存在点使得平面与平面所成角的余弦值为，或.
18.(1)证明：设平面与几何体的上底面交于点，即平面平面，
因为平面平面，平面平面，所以，
又因为平面，平面，平面，
所以，所以，
因，所以，
又因为平面，且平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
(2)解：连接，由（1）知平面，
所以就是直线与平面所成的角，即，
因为，所以，所以为直角三角形，
又，所以，
又因为平面平面，
所以点到平面的距离为，
因为平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，设为，
因为，所以，
因为，所以，
即点到平面的距离为.
(3)解：分别取的中点，连接，则，
因为且平面，，且平面，
所以平面平面，
若平面与平面夹角余弦值为，则平面与平面夹角的余弦值也为，
因为为的中点，，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
连接，过点作于点，
因为平面平面，且平面，所以平面，
过点作于点，连接，
则即为平面与平面夹角，即为，所以，
设，则，
因为，所以，
又因为，所以，，
在直角中，由射影定理知，所以，
在直角中，，所以，
在直角中，，
整理得，解得，即，
所以.
19.(1)存在点，使得，是定积直线，理由如下：
由题意可得，
由，解得，
故存在点，使得，是定积直线，且．
(2)设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的斜率为．
依题意得，得，即或．
直线的方程为，因为点在直线上，所以．
因为点在第一象限，所以，解得或（舍去），，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
由，得，即点的坐标为．
(3)设直线，直线，其中，
则
，
，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即，故的取值范围为．