2024年湖北省恩施土家族苗族自治州来凤一中高二10月检测高二数学试卷（含解析）

2024年来凤一中高二10月检测
高二数学试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则复数的虚部为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
2. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.在平行四边形中，，，，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
5. 在正方体中，二面角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件与互斥 B.
C. D. 两两相互独立
7. 已知两点的坐标分别为，两条直线和的交点为，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
8.已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为点的“相关直线”，下列直线中不是点的“相关直线”的是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点中心对称
D. 的值域为
10. 若三棱锥的体积是三棱锥体积的，且，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
11. 在棱长为的正方体中，、、、分别为棱、、、的中点，则下列结论正确的有（ ）
A. 三棱锥的外接球的表面积为
B. 过点，，作正方体的截面，则截面面积为
C. 若为线段上一动点(包括端点)，则直线与平面所成角的正弦值的范围为
D. 若为线段上一动点(包括端点)， 过点，，的平面分别交，于，，则的范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机事件满足，则____________．
13.直线的倾斜角的取值范围是______
14. 已知是空间单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，，则__________，__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求B；
（2）若，，求的面积.
16. 已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为．
（1）求直线的方程；
（2）求的面积．
17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，点M，N分别是棱，的中点.
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
18.某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.
（1）由频率分布直方图，求出图中t的值，并估计考核得分的第60百分位数；
（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率；
（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R．A、B、C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设表示以O为圆心，且过B、C的圆，同理，圆的劣弧AC、AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为．
（1）若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积；
（2）若平面三角形ABC为直角三角形，，设．则：
①求证：；
②延长AO与球O交于点D，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，，S为AC中点，T为BC中点，设平面OBC与平面EST的夹角为θ，求sinθ的最小值，及此时平面AEC截球O的面积．
1.B
由题意可得：，
所以的虚部为.
故选：B.
2.C
由题意可得，所以，
因为，所以，所以，
所以，
故选：C.
3.A
设，则，，得.故选A.
4.B
.
故选：B.
5.D
取的中点，连接，
由正方体，可得，
所以，所以是二面角的平面角，
设正方体的棱长为2，可得，所以，
在中，,
所以二面角的正切值为.
故答案为：D.
6.C
由题意得，事件A的样本点为，事件的样本点为，事件的样本点为，
对于选项：事件与共有样本点2，3，所以不互斥，故A错误；
对于选项B：事件样本点，所以，故B错误；
对于选项D：因为，，
且事件样本点，则，
可得，所以事件A与不相互独立，故D错误；
对于选项C：因为事件样本点，可得，
所以，故C正确.
故选：C.
7.D
由题意可得直线恒过定点，恒过定点，
且两直线的斜率之积为，所以两直线相互垂直，
所以点在以线段为直径的圆上运动，
，设，
则，
所以，
所以当时，即时，取得最大值，此时点的坐标为.
故选：D.
8.D
根据题意，当点到直线的距离时，该直线上存在点使得，此时直线为点的“相关直线”，
对于A，，即，点到直线的距离，该直线是点的“相关直线”；
对于B，，点到直线的距离，该直线是点的“相关直线”；
对于C，，点到直线的距离，该直线是点的“相关直线”；
对于D，，点到直线的距离，该直线不是点的“相关直线”.故选D.
9.ABD
因为，所以的最小正周期为，故A正确；
由，可得，
所以图象的对称轴为，
当时，图象的关于对称，故B正确；
由，可得，
所以图象的对称中心为，
当时，图象的关于点对称，故C不正确；
由，故的值域为，故D正确.
故选：ABD.
10.AC
因为三棱锥的体积是三棱锥体积的，
所以在平面内存在一点，使得或，如图①②所示，
当时，则，得．
因为点在平面内，所以根据空间向量基本定理可得，解得．
当时，则，得．
因为点在平面内，所以根据空间向量基本定理可得，解得．
故选：AC.
11.BCD
对于选项A：由题意可得：，且平面，
则，即，可知三角形外接圆的半径为，
所以三棱锥的外接球的球心为的中点，
可得三棱锥外接球的半径为，
所以其表面积为，故A错误；
对于选项B：取的中点分别为，
可知过点，，作正方体的截面为，其截面正六边形，边长为
所以其面积为，故B正确；
对于选项C：设点到平面的距离为，
由正方体的性质可得：，不在平面内，平面，
则平面，
当点在线段上运动时，则点到平面的距离即为点到平面的距离，
由的体积可得，解得，
设直线与平面所成角，则，
若为的中点时，，；
当点为线段的端点时，；
即，所以，故C正确；
对于选项D：设，
可知平面即为平面，则，
可得，设，
当时，由相似三角形知识可得：，，
即，，
且当或时，也符合，；
则，
且，可得，
所以的取值范围是，D正确.
故选：BCD.
12.
由题意可知，
故,
则，
故答案为：
13.
设直线的倾斜角为，
当时，直线为，；
当时，，当且仅当时取等号， ∴；
当时，，
当且仅当时取等号， ∴，综上可得.
14. ①. ②.
，
由于，所以，
问题等价于当且仅当时取到最小值，
.
则，解得.
故答案为：；
15.(1)因为，所以由正弦定理得，
，
又代入上式得，
所以，
由，则为锐角，且，
所以.
(2)由（1）知，，
因为，，所以，则，，
故，或（舍去）.
所以，又，，
由正弦定理得，
则，则，
由余弦定理得，则，
化简得，解得，
所以.
故的面积为.
16.(1)由于边上的高所在直线方程为，
所以设直线的方程为，
由于点在直线上，即，解得，
所以直线的方程为.
(2)由于点既满足直线的方程，又满足的方程，
所以，解得，故，
所以，
设，由于点满足直线，故，
设的中点坐标为，满足，
所以，整理得，
所以，解得，所以，
则点到直线的距离，
故.
17.（1）证明：取的中点为Q，连接，，如图：
又点N是的中点，则且，
又点M是的中点，底面是矩形，
则且，
∴且，∴四边形是平行四边形，∴，
又平面，平面，∴平面；
（2）过点P作交于点E，作交CD于点F，连接，
则，，∴平面，
又平面，∴平面平面，
∵，，，
∴，，，.
设平面平面，可知，
∵平面平面，∴，∴，
取的中点为O，连接、，则平面，，
∴、、两两垂直，
以O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系,，
如图所示，
则，，，，，
∴，，，
设平面的一个法向量为，
则由，令可得.
设直线与平面所成角为，
则
∴直线与平面所成角的正弦值为.
18.（1）由题意得：，解得，
设第60百分位数为，则，
解得，即第60百分位数为85.
（2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为，，
在的有人，设为a，b，c.
则样本空间为，.
设事件“两人分别来自和”，
则，，
因此，
所以两人得分分别来自和的概率为.
（3）由题得：①；
②略
19.(1)若平面OAB，OAC，OBC两两垂直，有，
所以球面三角形ABC面积为.
(2)①证明：由余弦定理有：，且，
消掉，可得；
②由AD是球的直径，则，
且，，平面BCD，
所以平面BCD，且平面BCD，则，
且，平面ABC，可得平面ABC，
由直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，所以，
不妨先令，则，
由，，，
以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标系，
设，则，
可得，，
则，
设平面OBC法向量，则，
取，则，可得，
设平面EST法向量，则，
取，则，可得，
要使sinθ取最小值时，则取最大值，
因为
，
令，则，
可得，
当且仅当取等．
则取最大值，为最小值，
此时点，可得，，
设平面AEC中的法向量，则，
取，则，可得，
可得球心O到平面AEC距离为，
设平面AEC截球O圆半径为r，则，
所以截面圆面积为.