2024-2025学年黑龙江省牡丹江第一高级中学高二（上）月考数学试卷（10月份）(含答案）

2024-2025学年黑龙江省牡丹江第一高级中学高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在轴与轴上截距分别为，的直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为( )
A. B. C. D.
3.直线：与圆：交于，两点，则的面积为( )
A. B. C. D.
4.直线：，直线：，则直线是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知两点，，过点的直线与线段含端点有交点，则直线的斜率的取值范围为( )
A. ， B. C. D.
6.已知空间中三点，，，平面的一个法向量为，则以，为邻边的平行四边形的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知正四面体的棱长为，是的中点，在上，且，则( )
A. B. C. D.
8.在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，，动点在体对角线上，则顶点到平面距离的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，则下列结论正确的是( )
A. 直线的一个法向量为
B. 若直线：，则
C. 点到直线的距离是
D. 过与直线平行的直线方程是
10.如图，正方体的边长为，为的中点，动点在正方形内包含边界运动，且下列结论正确的是( )
A. 动点的轨迹长度为
B. 异面直线与所成角的正切值为
C. 的最大值为
D. 三棱锥的外接球表面积为．
11.已知直线：过定点，且与圆：相交于，两点，则( )
A. 点的坐标为 B. 的最小值是
C. 的最大值是 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，则点到直线的距离为______．
13.世纪，笛卡尔在几何学中，通过建立坐标系，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，创立了新分支解析几何，我们知道，方程在一维空间中，表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线；在三维空间中，它表示一个平面，过点，法向量为的平面的方程是______．
14.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的动直线与圆相交于，两点．
求圆的方程；
当时，求直线的方程．
16.本小题分
如图，边长为的等边所在的平面垂直于矩形所在的平面，，为的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ若为直线上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为．
求直线的方程和点的坐标；
求的面积．
18.本小题分
如图，在平行四边形中，，，将沿折起，使点到达点位置，且，连接得三棱锥，如图．
证明：平面平面；
在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知圆：和点．
过点向圆引切线，求切线的方程；
求以点为圆心，且被直线截得的弦长为的圆的方程；
设为中圆上任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：由题意得，
所以圆方程为；
由题意圆心到直线的距离为，
显然直线满足题意，
在直线斜率存在时，设方程为，
即，，解得，
所以直线方程为，即，
所以直线方程为或．
16.证明：Ⅰ由题意可得平面底面，平面底面，平面，
四边形为矩形，所以，
所以平面，平面，
所以；
Ⅱ若为直线上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．
取的中点，的中点，连接，，
由题意可得，，
因为平面底面，平面底面，平面，
所以平面，
建立以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴的空间直角坐标系，
因为，，
则，，，，，，
因为为的中点，所以，，
设，
可得，
所以，
因为，所以，
即，
解得，
即为的中点，所以，所以，
设平面的法向量为，，，
则，即，
令，则，，
所以，
所以，，，
所以，，
设直线与平面所成的角为，
则，．
直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：由点在上，设点的坐标是，
则的中点在直线上，
而直线的方程为：，
于是，解得，
即点，
设关于直线的对称点为，
则有，解得，
即，
显然点在直线上，直线的斜率为，
因此直线的方程为，
即，
由，解得，
则点，
所以直线的方程为，
点的坐标为；
由得，
点到直线的距离，
所以的面积．
18.证明：由题意，在平行四边形中，
，，，
则在中，由余弦定理，
可得，
则有，故AC，即，
又，所以，
由题意，，，，平面，
所以平面，又平面，所以，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
解：过点作，由可知，，，两两垂直，
以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，
假设在线段上存在点满足题意，
设，则有，
故，
则，，，，
设平面的一个法向量为，
则有，令，可得，
即，
设平面的一个法向量为，
则有，令，可得，，
即，
若平面与平面的夹角的余弦值为，
则有，
整理得，解得或舍去，
故，即，
故在线段上存在点，当时，
可得平面与平面的夹角的余弦值为．
19.解：若过点的直线斜率不存在，直线方程为，为圆的切线；
当切线的斜率存在时，设直线方程为，
即，
圆心到切线的距离为，解得，
直线方程为
综上切线的方程为或．
点到直线的距离为，
圆被直线截得的弦长为，
，
圆的方程为．
假设存在定点，使得为定值，设，，，
点在圆上，
，则，
为圆的切线，，
，，
，
即，
整理得，
若使对任意，恒成立，则，
，代入得，
化简整理得，解得或，
或，
存在定点，此时为定值或定点，此时为定值．
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