2024-2025学年山东省济南市山东省实验中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年山东省实验中学高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，已知点关于轴的对称点为，则等于( )
A. B. C. D.
2.如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为( )
A.
B.
C.
D.
3.直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.已知直线的方向向量为，平面的法向量为若，则的值为( )
A. B. C. D.
5.“”是“直线：与：平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.正四面体的棱长为，点是的中点，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为，则其一条边所在直线的斜率是( )
A. B. C. D.
8.设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，则下列结论正确的是( )
A. 与垂直
B. 与共线
C. 与所成角为锐角
D. ，，可作为空间向量的一组基底
10.已知两直线：，：，：，则下列说法正确的是( )
A. 对任意实数，直线，的方向向量都不可能平行
B. 存在实数，使直线垂直于轴
C. 存在实数，使直线，互相垂直
D. 当时，直线的方向向量不存在
11.在正三棱柱中，，点满足，其中，，则( )
A. 当时，的周长为定值
B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，有且仅有一个点，使得
D. 当时，有且仅有一个点，使得平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若与垂直，则 ______．
13.已知点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是______．
14.在中，已知，边上的高线所在的直线方程为，边上的高线所在的直线方程为则边所在的直线方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间中三点，，，设．
若，且，求向量；
求以为一组邻边的平行四边形的面积．
16.本小题分
如图，四棱锥中，平面，四边形是梯形，，，，，点是的中点，是上的点，．
求证：点在平面内；
求点到平面的距离．
17.本小题分
已知直线过点，为坐标原点．
若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线方程；
若直线与轴、轴的正半轴分别交于，两点且面积为．
求直线方程；
若点为线段上一动点，且交于点在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，底面，，、分别为、的中点，点在线段上．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ设，若直线与平面所成的角的正弦值为，求的值．
19.本小题分
球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科如图，球的半径为，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面阴影部分叫做球面三角形若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为．
若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积；
若平面三角形为直角三角形，，设，，，
求证：；
延长与球交于点，若直线，与平面所成的角分别为，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值．
参考答案
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15.解：由，可得，
若，则，
又，
所以，
解得，
所以或；
由，，可得，，
所以，，，
所以，
所以，
所以．
16.证明：，，，
又平面，，平面，
，，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设，
则，解得，，
点在平面内．
解：设平面的一个法向量为，
则，，
令，则平面的一个法向量为，
又，
点到平面的距离．
17.解：若直线过原点，易知其方程为：；
若直线不过原点，不妨设其方程为：，
代入点得，即；
由截距式设直线的方程为，所以，
所以，即；
(ⅱ)若存在为等腰直角三角形，不妨设，，则，
因为为等腰三角形，
当为直角顶点时，设，，，
所以，即，
所以或舍，所以，即点；
当为直角顶点时，点，，符合题意；
当为直角顶点时，设，由可得：，
所以，；
综上所以，，，符合题意．
18.Ⅰ证明：在平行四边形中，因为，，
所以，故AB；
由、分别为、的中点，得，所以，
因为底面，底面，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面
Ⅱ解：因为底面，，所以，，两两垂直，
分别以，，所在直线为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，，
所以，，
由已知，，故，
所以，，
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，得，
所以
，
化简得，
故或舍．
19.解：若平面，，两两垂直，有，
所以球面三角形面积为．
证明：由余弦定理有：，且，
消掉，可得；
由是球的直径，则，，
且，，，平面，
所以平面，且平面，则，
且，，平面，可得平面，
由直线，与平面所成的角分别为，所以，
不妨先令，则，
由，，，
以为坐标原点，以，所在直线为，轴，过点作的平行线为轴，建立如图空间直角坐标系，
设，则，
可得，，
则，
设平面法向量，则，
取，则，可得，
设平面法向量，则，
取，则，，可得，
要使取最小值时，则取最大值，
因为
，
令，则，
可得，
当且仅当取等．
则取最大值，为最小值，
即的最小值为．
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