2024-2025学年北京师大附属实验中学高一（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年北京师大附属实验中学高一（上）段考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.如图，阴影部分可用集合，表示为( )
A.
B.
C.
D.
4.下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.若命题“，”为假命题，则实数可取的最小整数值是( )
A. B. C. D.
8.对集合的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果．例如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，则集合所有非空子集的“交替和”的和为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
9.集合可以用列举法表示为______．
10.方程组的解集是______．
11.若关于的不等式的解集为，则的值为______．
12.为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，某校计划新建校园图书馆精品阅读区，该项目由图书陈列区阴影部分和四周休息区组成图书陈列区的面积为，休息区的宽分别为和如图所示当校园图书馆精品阅读区面积最小时，则图书陈列区的边长为______
13.已知集合，且中有个子集，则实数的取值范围为______．
14.设集合，其中为实数，令，，若中的所有元素之和为，中的所有元素之积为______．
三、解答题：本题共5小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
若，求和；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
设，求证．
17.本小题分
已知，是方程的两个不相等的实根，求值：
18.本小题分
已知关于的方程．
若该方程的解集中只有一个元素，求的值；
若，且当时，恒成立，求实数的取值范围；
若，解关于的不等式．
19.本小题分
已知有限集，，如果中的元素满足，就称为“完美集”．
判断：集合是否是“完美集”并说明理由；
、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于；
若为正整数，求：“完美集”．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.．
11.
12.
13.，
14.
15.解：时，，
又，
，．
若，，，
当时，则，解得，
当，则，解得，
综上：实数的取值范围为．
16.证明：因为，可得，，，
由，
所以，即，所以．
17.解：因为，是方程的两个不相等的实根，
可得，根据韦达定理得，，
所以；
由知：，，
则；
由知：，，
则．
18.解：关于的方程，
当时，方程即为，解得，满足题意；
当时，若该方程的解集中只有一个元素，则，解得，
综上，实数的值为或．
当时，不等式为，即，
由时，不等式转化为恒成立，
因为，
当且仅当时，即时，等号成立，所以，
即实数的取值范围为．
不等式，可化为，
因为，则不等式可为，
当时，即时，解得，不等式的解集为；
当时，即时，不等式为，此时不等式的解集为；
当时，即时，解得，不等式的解集为，
综上可得：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
19.解：由，，则集合是“完美集”，
若、是两个不同的正数，且是“完美集”，
设，
根据根和系数的关系知，和相当于的两根，
由，解得或舍去，
所以，又，均为正数，
所以、至少有一个大于．
不妨设中，
由，得，
当时，即有，又为正整数，所以，
于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”；
当时，，故只能，，求得，
于是“完美集”只有一个，为．
当时，由，即有，
而，
又，因此，故矛盾，
所以当时不存在完美集，
综上知，“完美集”为．
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