2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量服从正态分布，，则( )
A. B. C. D.
2.在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
3.用、、、、、组成没有重复数字的六位数，要求数字和相邻，则这样的六位数的个数为( )
A. B. C. D.
4.如图，三个元件，，正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是( )
A. B. C. D.
5.如图，一个质点从原点出发，每隔一秒随机等可能地向左或向右移动一个单位，共移动次，在质点第一秒位于的位置的条件下，该质点共经过两次的位置的概率为( )
A. B. C. D.
6.如图是函数的部分图象，则下列说法错误的是( )
A.
B.
C. 的图象关于点中心对称
D. 在上单调递减
7.有一道数学题，不知道答案的概率为，如果知道答案则本题答对的概率为，不知道答案则本题答对的概率为，在答对本题的条件下，则不知道答案的概率为( )
A. B. C. D.
8.在四棱锥中，平面，，二面角的大小为，，若点，，，，均在球的表面上，则球的表面积最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.近年来，我国持续释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，如图所示，是我国从年到年的国内游客出游花费统计，下列说法正确的是( )
A. 从年到年，这年的国内游客出游花费的第百分位数为
B. 从年到年，这年的国内游客出游花费的中位数为
C. 从年到年，这年的国内游客出游花费的极差为
D. 从年到年，国内游客出游花费呈现上升趋势
10.学校分别对高一学年和高二学年开展体育水平抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是( )
A. 样本中高二学年成绩的众数是
B. 样本中高二学年成绩在分以上的人数高于高一学年成绩在分以上的人数
C. 样本中高二学年成绩的方差高于高一学年成绩的方差
D. 样本中高二学年成绩的中位数高于高一学年成绩的中位数
11.某学校共有人，其中高一人，高二人，高三人，现采用抽样调查的方式调查学生平均身高，则下列说法正确的是( )
A. 若采用简单随机抽样的方式，抽取容量为的样本，则高一班的小明同学被抽入样本的概率为
B. 若采用按比例分层抽样的方式，抽取容量为的样本，则应从高一中抽取的人数为
C. 若采用按比例分层抽样，发现高一、高二、高三学年的样本平均身高分别为，，，则总体平均身高的估计值为
D. 若采用按比例分层抽样，发现高一、高二、高三学年的样本平均身高分别为，，，方差分别为，，，则总体身高方差的估计值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.对于随机事件，有，，， ______．
13.随机变量的分布列如下表所示，则 ______．
14.哈三中年度上学期高二年级十月月考中有这样一道题目：已知，是两个随机事件，且，，给出个命题如下：
若，则事件，对立；
若事件与独立，则成立；
若，则事件，相互独立，且；
由于印刷原因，其中命题漏印了．
若老师说某考生在个命题中任选两个命题，其中真命题的个数的方差为，则中真命题的个数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
李老师使用频数分布表、频率分布直方图与扇形图来统计两个班学生某次数学考试的分数，已知所有学生考试成绩均位于内，问：
分组 频数 频率
合计
求频率分布直方图中的值及分数的平均值每组数据用该组区间中点值代表；
若李老师决定对与这两组的学生采用按比例分层抽样，抽取名同学进行谈话，再从这人中随机选择两人进行试卷分析，求选中的人来自不同组的概率．
16.本小题分
在中，，，的对边分别为，，，且满足_____．
请在；，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题．
求；
若边上的高为，的面积为，求的周长．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，粒子从室经过号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为粒子间的旋转状态相互独立现有两个粒子从室出发．
求两粒子进入室都为上旋状态的概率；
若实验装置出现故障，两个粒子进入室后，共裂变为个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立．
时，写出返回室的粒子个数的分布列、期望、方差；
时，记有个粒子返回室的概率为，则为何值时，取最大值．
19.本小题分
随着新中考英语人机测试的推行，为了确保学生能够有效应对这一新的考试形式，某中学决定展开深入调查，组织一次模拟测试，对学生的英语水平能力进行准确评估，并据此制定针对性的教学方案该校从初二学年学生中随机抽取人将进行模拟测试现将人分成，，三个小组，其中组人，组人，组人．
第一轮测试按小组，，顺次进行若一切正常，则该小组完成测试的时间为分钟，若出现异常情况，则该小组需要延长分钟才能完成测试已知每小组正常完成测试的概率均为，且各小组是否正常完成测试互不影响记个小组完成测试所需时间为，求的分布列；
第二轮测试将组同学一起排序，每一位同学顺次上机操作．
求最后一名同学来自组的条件下，组同学比组同学提前完成测试的概率；
若每名同学完成测试的时间都是为分钟，求组和组同学全部完成测试所需时间的期望．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：已知组的频数为，频率为，
则总人数为人，
的频数为，则的频率为，
已知的频率为，则的频数为，
因为低于分的比例为，所以的频率为，
则的频率为，频数，
由频率分布直方图知道，频率与相同，为，频数，
由于所有频率之和为，的频率为，人数为人，
则，
平均值；
由前面可知组的频数为人，组的频数为人，
按比例分层抽样抽取名同学，设从组抽取人，从组抽取人，
则，
解得，，
从人中随机选人的总数为种选中的人来自不同组的可能情况为种，
所以选中的人来自不同组的概率．
16.解：若选择，
根据，得，即，
结合，可知，所以，即，
由此可得，可得；
若选择，即．
根据正弦定理得，整理得，
由余弦定理得，结合，可得．
若边上的高为，的面积为，
则，可得，，即，．
由余弦定理得，
可得，所以，可得．
所以的周长．
17.解：由于平面平面，且两平面的交线为，
又，平面，
故CD平面，平面，
，
，且为的中点，
，又，，平面，
平面；
由于平面平面，且两平面的交线为，又，平面，
故平面，
如图，作于，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
，，
则，，，，，，
设平面的法向量为，
，，
即，
可取，则，
设平面的法向量为，
，，
，即，
可取，则，
，
即平面与平面的夹角余弦值为．
18.解：设“两个粒子通过号门后处于上旋状态粒子个数为个”，，，，
“两个粒子通过号门后进入室都为上旋状态”，
则，，
，，
则．
返回室的粒子个数的可能性为，，，，
服从二项分布；
，
，
，
，
，
即分布列为：
所以期望，方差；
的可能取值为，此时，
个粒子返回室的概率为，
则
，
所以，
当时，取最大值．
19.解：设事件：组正常完成；设事件：组正常完成；设事件：组正常完成，
随机变量的可取值：，，，，
，
；
；
，
的分布列：
设事件：最后一名同学来自组；事件：组同学比组同学提前完成测试．
则，
设所需时间为，的可取值：，，，，，，，
则，，，，
，
，
所以．
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