2024-2025学年吉林省长春市长春八中高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省长春八中高一（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，若，则实数的值为( )
A. B. 或 C. D. 或
2.设集合，则集合的子集个数为( )
A. B. C. D.
3.设集合，，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
4.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
5.设常数，集合，，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D. 或
8.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. 或 C. 或 D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是( )
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集为或
10.下列说法中，正确的是( )
A. 命题“存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上”的否定是真命题．
B. 命题“对，的个位数不等于”的否定是假命题．
C. 梯形是等腰梯形的充要条件是．
D. 设，，，则的充要条件是．
11.下列不等式正确的有( )
A. 若，则函数的最小值为
B. 若，则
C. 当，
D. 若且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，人同时听了数学、历史讲座，人同时听了数学、音乐讲座，人同时听了历史、音乐讲座，还有人听了全都讲座，则该年级听讲座人数一共是 ．
13.已知集合，直角坐标系中的点集，，，若用一张完整无破损的纸片去覆盖点集中的所有点，则这张纸片的面积至少是______．
14.若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，，全集．
当时，求；
若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
若正数，满足，解答下列各题：
求的最小值．
求的最小值．
17.本小题分
命题：，成立；命题：，成立．
若命题为真命题，求实数的取值范围；
若命题为假命题，求实数的取值范围；
若命题，至少有一个为真命题，求实数的取值范围．
18.本小题分
第十九届亚运会于年月日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”．
某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为元，浮动价格单位：元而当每套吉祥物售价定为元时，销售量可达到万套．
注：利润售价供货价格销售量不计其他成本
每套吉祥物纪念品售价为元时，能获得的总利润是多少万元？
每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值．
19.本小题分
已知．
若关于的不等式的解集为区间，求的值；
解关于的不等式．
参考答案
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15.解：当时，集合，，
或，
．
“”是“”的必要条件，，
若，则，，
若，则，解得，
综上所述，实数的取值范围为，
16.解：由题意可得，，且，
则由基本不等式可得，当且仅当且时取等号，
即当且仅当时取等号，此时，
则，所以，
故的最小值为；
由题意可得，，且，
所以，
则，
所以，当且仅当，即，时取等号，
所以取得最小值．
17.解：当为真命题时，，解得，
则实数的范围为；
当命题为假命题，则，解得，
即实数的范围为；
当命题，都为假命题时，需满足，解得，
所以命题，中至少有一个为真命题时，实数的范围为或，
即实数的范围为
18.解：每套吉祥物纪念品售价为元时，销售量为万套，
供货单价为元，
总利润为万元；
设单套售价为元，此时销售量为万套，供货价格为元，
同时，所以，
所以单套利润为，
当且仅当，即时取等号．
所以每套吉祥物售价为元时，单套的利润最大，最大值是元．
19.由，得，即，
即，
等价于，由题意得，
则；
，即，即，
当时，不等式即为，则，此时原不等式解集为；
当时，不等式即为．
若，则，所以，此时原不等式解集为；
若，则，不等式为，不存在，此时原不等式解集为；
若，则，所以，此时原不等式解集为．
当，不等式即为，此时原不等式解集为或，
综上：当时，解集为；
，不等式解集为；
，不等式解集为；
，不等式解集为；
，不等式解集为或
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