2024-2025学年江苏省南通市如皋市高一（上）第一次调研数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南通市如皋市高一（上）第一次调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知为实数集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A.
B.
C.
D.
3.( )
A. B. C. D.
4.“”是“”的条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
5.已知正数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
7.“关于的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是( )
A. 或 B. C. D. 或
8.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作和的笛卡尔积，又称直积，记为，即，关于非空集合，，，下列说法正确的是( )
A. 若，，则，，
B. 若集合，的元素个数分别为，，则的元素个数为
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
10.已知关于的不等式的解集为，则( )
A. 且
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集为
11.已知，，且，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.当时，函数的最小值为______．
13.已知集合的所有非空子集的所有元素之和为，则 ______．
14.已知二次函数的两个零点都在区间上，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，求下列各式的值：
；
．
16.本小题分
已知二次函数，其中为实数．
求证：对任意实数，该二次函数有两个零点；
设该二次函数在上有两个零点为，，且，求此二次函数的解析式．
17.本小题分
已知集合，集合．
若，求集合；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在周长为的矩形中其中，现将沿折叠到，设与交于点，设．
求证：的周长为；
试用表示的长，并求的取值范围；
当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值．
19.本小题分
已知集合，记关于的不等式的解集为．
当时，求；
若存在，使得，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：，
则，解得，
故，解得，
故，
所以；
，解得，
故．
16.解：证明：令，则，
则不论取何值时，二次函数有两个零点；
设该二次函数在上有两个零点为，，令，
则，，
又，
则，
则或，
则二次函数解析式为零点为，不满足题意，舍去或．
则二次函数解析式为．
17.解：因为集合，
当时，集合，
；
若，，，
当，即时，，符合题意；
当，即时，，则，解得，
当，即时，，则，解得，
综上，的范围为．
18.解：证明：由题意可知，，，
所以≌，
所以，，，
所以定值，
所以的周长为定值．
由折叠可知，
所以，即，
由知，
即，所以，
在直角中，由勾股定理可得，
即，
化简得，
因为，，
所以且，即，
所以，．
在中，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以当时，的面积取得最大值，为．
19.解：当时，，，
故C，故；
因为存在，使得，故A，
故在上有解，故，
因为，故，
由基本不等式有，当且仅当即时等号成立，
故的最大值为，故，
则实数的取值范围为；
因为，故A，故B，
若即时，，此时成立，
若，则，解得，
综上，
则实数的取值范围为．
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