2024-2025学年江西省南昌市豫章中学高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省南昌市豫章中学高一（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，，那么是( )
A. B. C. D.
2.命题“，都有”的否定是( )
A. ，都有 B. ，使得
C. ，使得 D. ，使得
3.如图，三个圆形区域分别表示集合，，用集合，，，表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是( )
A. 图形表示的集合为
B. 图形Ⅲ表示的集合为
C. 图形Ⅴ表示的集合为
D. 图形Ⅷ表示的集合为
4.以下关系表达不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知、都是实数，那么“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.下列命题是真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，则
7.已知集合、满足，若，且，表示两个不同的“互衬对”，则满足题意的“互衬对”个数为( )
A. B. C. D.
8.设集合，，定义集合，，，则集合中元素的个数是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下是的必要条件但不是充分条件的是( )
A. ：“是有理数”，：“是实数”
B. ：“”，：“”
C. ：“”，：“”
D. ：“”，：“”
10.若“”是“”的必要不充分条件，则实数可以是( )
A. B. C. D.
11.设，，则下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，且，则的值为______．
13.关于实数的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为______．
14.已知直角三角形的面积为，三角形的周长最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，．
当时，求；
已知“若，则”为真命题，求实数的取值范围．
16.本小题分
求下列一元二次不等式等式的解集：
；
，其中是常数；
．
17.本小题分
已知，，，求证：；
已知，，若求证：．
18.本小题分
近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用万购进一批盲盒生产线，每年可有万的总收入，已知生产此盲盒年为正整数所用的各种费用总计为万元．
该公司第几年首次盈利总收入超过总支出，今年为第一年？
该公司几年后年平均利润最大，最大是多少？
19.本小题分
对于两个集合，，记又记为集合，的“对称差”，它是由恰只属于，之一的那些元素组成，用韦恩图表示如图：
已知，，求；
集合，，如图所示，请用阴影标出；
(ⅱ)如图，集合，为全集的子集，请用阴影标出；
已知；关于的方程一个根大于且另一个根小于时，的取值范围记为集合；时，恒成立，的取值范围记为集合求．
参考答案
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15.解：由题意，集合，，
当时，集合，
所以；
因为“若，则”为真命题，
所以，则有，
解得，
所以实数的取值范围为．
16.解：不等式等价于，
解得，所以不等式的解集为．
可化为，
解得，所以不等式的解集为．
由题意得，令，解得或，
所以不等式的解集为或
17.证明：因为，
当且仅当时取等号，
所以；
由，所以．
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以．
18.解：设利润为，
则为正整数，
令得，解得，
又为正整数，
则，即该公司第年首次盈利；
由得且为正整数，，
则，当且仅当，即时等号成立，
故第年时，平均利润最大，且为万元．
19.解：由题意可知：，，，
，，；
由新定义可知：，
，
；
故结果如图：
由新定义可知：，，
；
故结果如图：
，
，，，则，，
，
设方程的两根分别为，，设，，
恒成立，
又，则，
令函数，则，
即，
即，
，
，
恒成立，即，
，即，
，
，，
则，．
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