2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市黑龙江省实验中学高三（上）第二次月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年黑龙江省实验中学高三（上）第二次月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，其中且，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 既不充分又不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件
3.已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.若正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的定义域为，且，若函数的图象与函数的图象有交点，且交点个数为奇数，则( )
A. B. C. D.
6.在中，，，，设点为的中点，在上，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.在中，内角，，所对的边分别为，，已知的外接圆半径是边的中点，则长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的部分图象如图所示，则( )
A. 该图像向右平移个单位长度可得的图象
B. 函数的图像关于点对称
C. 函数的图像关于直线对称
D. 函数在上单调递减
10.已知，，是平面上的三个非零向量，那么( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则与的夹角为
D. 若，则，在方向上的投影向量相同
11.定义在上的函数满足，则( )
A. 是周期函数
B.
C. 的图象关于直线对称
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.若数列满足，，则 ______．
14.已知函数在定义域上为偶函数，并且时，，若，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，已知．
求；
若且，求的外接圆半径．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，设向量．
求函数的最小值；
若，求的面积．
17.本小题分
已知锐角的三个内角，，所对的边为，，，．
求角的大小；
求的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
当时，求的极值；
若，，当时恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
当时，设，求在处的切线方程；
当时，求的单调区间；
证明：若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，可得，
又，
所以，
即，又，
则，可得，
又，所以；
因为且，则，可得，
由余弦定理可得 ，
即，
整理可得，解得或舍去，
所以的外接圆半径．
16.解：向量，
可得，
可得，所以，
所以函数的最小值为；
因为，
所以，所以，
当时，由正弦定理可得：，
所以，，
因为，
所以，
由余弦定理可得，
即，解得，
此时．
17.解：由，
可得，即，
由正弦定理可得，即，
所以，因为，所以；
应用正弦定理可得，设，
因为，，
所以
，
因为，所以，
所以
所以，即的取值范围为．
18.解：当时，定义域为，
则，
令，则或；令，则；
则在，上单调递增，在上单调递减，
故函数的极大值为，
的极小值为．
不妨设，
因为对一切都成立，
所以对一切都成立，
令，则定义域为，
则原问题转化为在上单调递增；
，
当时，，在单调递增；
当时，需在上恒成立，即在上恒成立，
对于图象过定点，对称轴为，
故要使得在上恒成立，
需满足，
解得，
综合可得，即的取值范围为．
19.解：当时，，其中，，
则，所以，，，
所以在处的切线方程为．
解：当时，，该函数的定义域为，
且，由，可得，解得，
由，可得，解得，
所以函数的增区间为，减区间为．
证明：由题意知：且，
因为与有且仅有两个交点，
所以方程有且仅有两个不等实根，即方程有且仅有两个不等实根，
即方程有且仅有两个不等实根，
令，则定义域为，，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
当时，；当时，；
可得大致图象如下图所示，
令，则，
所以有且仅有两个不同实数根的充要条件为，
即，所以实数的取值范围为．
第1页，共1页