2024-2025学年辽宁省沈阳120中高三（上）第三次质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省沈阳120中高三（上）第三次质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则的共轭复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，是的中点，，，与交于点，则( )
A.
B.
C.
D.
6.若函数其中，且的最小值是，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.古代数学家刘徽编撰的重差是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础现根据刘徽的重差测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点切点，地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为
A. B. C. D.
8.已知，，，当时，恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，且，则( )
A. B.
C. D.
10.已知数列是公比为的等比数列，且，则下列结论正确的是( )
A. 若是等比数列，则公比为
B. 是公比为的等比数列
C.
D. 若，则
11.若函数，与轴的三个交点依次为，，，且在这三个交点处的切线斜率分别记为，，，则下列说法中正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 若，，成等差数列，则
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是公差为的等差数列，且，则 ______．
13.已知函数，若存在，，使得，则的最小值为______．
14.定义在上的函数，满足，，且，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在中，，，分别是角，，的对边，，且．
求的面积；
若时，求边和角．
16.本小题分
已知数列满足，其中，．
证明：数列为等比数列；
若，，且，求数列的前项和为．
17.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
当时，恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知数列是公差不为零的等差数列，满足，，正项数列的前项和为，且．
求数列和的通项公式；
在和之间插入个数，使，，成等差数列；在和之间插入个数，，使，，，成等差数列；；在和之间插入个数，，，，使，，，，，成等差数列．
(ⅰ)求；
(ⅱ)求的值．
19.本小题分
定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数已知函数．
当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
若，求的极值差比系数的取值范围．
参考答案
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15.解：由已知可得，可得，
由，可求得，
所以；
因为，，可得，
由余弦定理得，可得，
由正弦定理，可得，
由于，所以，可得．
16.证明：由，且得，
，
所以，数列是以为公比的等比数列．
解：由，得，数列是以为公比的等比数列，
又因为，所以，，
所以，，，
所以，．
17.解：函数，定义域为，
所以，
档时，，令，得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增；
若，令，得，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增；
若，，在上单调递增；
若，令，得，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
由知，当时，在上单调递增，故，
所以，解得，即；
当时，在上单调递减，在上单调递增，故
所以，即，，解得，所以；
综上所述，的取值范围是
18.解：设数列的公差为，
由题意知，，因为，
所以，解得，
所以；
因为数列的前项和为，且满足，
所以当时，，
当时，，
验证，当时，，满足上式，
故；
在和之间插入个数，，，，使，，，，，成等差数列，
设公差为，则，
所以；
(ⅱ)设，
则，
设，
所以，
，
两式相减得，，
所以．
19.解：当时，是极值可差比函数，理由如下：
当时，，
所以，
当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，极小值为，
所以，因此是极值可差比函数．
的定义域为，即，
假设存在，使得的极值差比系数为，则，是方程的两个不等正实根，
，解得，不妨设，则，
由于
，
所以，从而，
得
令，
所以在上单调递增，有，
因此式无解，即不存在使的极值差比系数为．
由知极值差比系数为，
即，不妨设，
令，极值差比系数可化为，
，
又，解得，
令，
设
所以在上单调递减，当时，，
从而，
所以在上单调递增，所以，
即．
故的极值差比系数的取值范围为．
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