人教版2024-2025学年八年级数学上册专题13.1垂直平分线中的几何综合(压轴题专项讲练)(学生版+解析)
文档属性
| 名称 | 人教版2024-2025学年八年级数学上册专题13.1垂直平分线中的几何综合(压轴题专项讲练)(学生版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-20 19:19:47 | ||
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文档简介
专题13.1 垂直平分线中的几何综合
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。
一、线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
二、线段垂直平分线的判定
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（这样的点需要找两个）
【典例1】如图，的两条高与交于点，，．
（1）求证：；
（2）连结，试说明：是的垂直平分线；
（3）是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点到达点A时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值．
【思路点拨】
（1）证明，即可得到；
（2）先证明，得到，进而得到点在的垂直平分线上，再根据得到点在的垂直平分线上，即可得到是的垂直平分线；
（3）当点在延长线上时，设运动秒，根据得到，，根据得到，进而得到，求得；当点在之间时，设运动秒，根据得到，，根据得到，进而得到，求得，问题得解．
【解题过程】
（1）证明：、是高，
，
在与中，
，
；
（2）证明：，，
，
，
、是高，
．
在与中，，
，
，
点在的垂直平分线上．
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线；
（3）解：①如图1，当点在延长线上时，
设运动秒，、分别运动到如图位置，．
，，
当时，．
，，
，
解得．
②如图2，当点在之间时，
设运动秒，、分别运动到如图位置，．
，，
当时，．
，，
，
解得．
综上所述，或4．
1．（22-23八年级上·山东聊城·期末）如图，线段，的垂直平分线，相交于点O．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，中，是的角平分线，延长至，使得，连接．下列判断：；；平分；的面积的面积，一定成立的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，在四边形中，点E，F分别在，边上，将沿折叠，使点落在点处，连接，．有下面四个结论：
①；②直线是线段的垂直平分线；③；④．
所有正确结论的序号为( )
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
4．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，是边的垂直平分线，交于G，过点F作于点E，平分交于F，连接，．下列结论：①②③④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
5．（22-23八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则．正确的结论序号是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
6．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，点M，N分别在，上，将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），下列结论：①直线垂直平分；②；③；④若M是中点，则．其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
7．（22-23八年级上·重庆巴南·期中）如图，在中，，以为边，作，满足，点为上一点，连接，，下列结论：①；②；③若，则；④．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（22-23七年级下·广西南宁·期末）如图，在中，D为中点，，，于点F，，，则的长为 ．
9．（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论：；；；若，则周长等于的长其中正确的有 写出所有正确结论的序号
10．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F为AC上一点，连接BF交AD于E，过F作MN⊥FB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线上，且DE：BN＝1：7，S△ABD＝15，则S△ABE＝ ．
11．（23-24八年级上·福建莆田·开学考试）如图，在中，，的角平分线和的平分线相交于点，交于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接并延长交于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的有 ．（填序号）
12．（2023·江苏无锡·模拟预测）请用无刻度的直尺和圆规作图：
（1）如图1，在上求作点D，使；
（2）如图2，若点D在边上，在上求作点E，使．
13．（2023·江苏扬州·模拟预测）尺规作图：保留作图痕迹，不要求写作法．
（1）过点作一条直线，使其平分的面积．
（2）在上求作一点，使与面积相等．
（3）过点作一条直线，使其平分的面积．
14．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与相交于点．
（1）若，则的周长为 ；
（2）若，求的度数．
15．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，垂直平分平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，与的周长之差为，且的面积为，求的面积．
16．（22-23八年级上·福建福州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）在AC的右侧作△DCF，使点F在AC上，且△DCF≌△ABC；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接BD交AC于点P．若AC＝2BC＝4，求PC的长．
17．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图：在中，，，射线、的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．
（1）如图，若射线、都在的内部，且点与点关于对称，求证：；
（2）如图，若射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，求证：；
（3）如图，若射线、都在的外部，其他条件不变，若，，，求的长．
18．（23-24八年级上·辽宁·期中）在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．
（1）如图1，射线，都在内部．
①若，，则 ；
②作点关于直线的对称点，在图1中找出与线段相等的线段，并证明．
（2）如图2，射线在的内部，射线在的外部，其它条件不变，探究线段之间的数量关系，并证明．
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专题13.1 垂直平分线中的几何综合
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。
一、线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
二、线段垂直平分线的判定
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（这样的点需要找两个）
【典例1】如图，的两条高与交于点，，．
（1）求证：；
（2）连结，试说明：是的垂直平分线；
（3）是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点到达点A时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值．
【思路点拨】
（1）证明，即可得到；
（2）先证明，得到，进而得到点在的垂直平分线上，再根据得到点在的垂直平分线上，即可得到是的垂直平分线；
（3）当点在延长线上时，设运动秒，根据得到，，根据得到，进而得到，求得；当点在之间时，设运动秒，根据得到，，根据得到，进而得到，求得，问题得解．
【解题过程】
（1）证明：、是高，
，
在与中，
，
；
（2）证明：，，
，
，
、是高，
．
在与中，，
，
，
点在的垂直平分线上．
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线；
（3）解：①如图1，当点在延长线上时，
设运动秒，、分别运动到如图位置，．
，，
当时，．
，，
，
解得．
②如图2，当点在之间时，
设运动秒，、分别运动到如图位置，．
，，
当时，．
，，
，
解得．
综上所述，或4．
1．（22-23八年级上·山东聊城·期末）如图，线段，的垂直平分线，相交于点O．若，则（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
根据线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到，再利用垂直的定义结合直角三角形两锐角互余得到，计算即可．
【解题过程】
解：如图，连接BO并延长至点P，与线段AB交于F，
∵，是、的垂直平分线，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B
2．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，中，是的角平分线，延长至，使得，连接．下列判断：；；平分；的面积的面积，一定成立的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【思路点拨】
利用三角形的角平分线，中线和垂直平分线进行判断即可，
【解题过程】
解：如图，延长交于点，过作于点，
∵，，
∴，
又∵是的平分线，
∴垂直平分，
∴，故正确；
∵，
∴，，
∴，即，故正确；
由题意可知与不一定相等，
则不一定成立；
∵，垂直平分，
∴，
∴，故正确；
综上 正确；
故选：．
3．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，在四边形中，点E，F分别在，边上，将沿折叠，使点落在点处，连接，．有下面四个结论：
①；②直线是线段的垂直平分线；③；④．
所有正确结论的序号为( )
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【思路点拨】
本题考查翻折变换，线段垂直平分线的判定，多边形内角和公式，三角形外角性质，掌握翻折不变性，以及相关性质是解题的关键．
由翻折不变性，可判断①正确；由翻折不变性，可得，，可判断②正确；由多边形内角和公式和翻折不变性，可判断③正确；由三角形外角性质和翻折不变性，可判断④正确；即可解答．
【解题过程】
解： 是由翻折得到的，
，
故①正确；
是由翻折得到的，是由翻折得到的，
，，
点E，点F都在的垂直平分线上，
直线是线段的垂直平分线，
故②正确；
是由翻折得到的，
故③正确；
设与交于点H，
是由翻折得到的，
故④正确；
综上，正确的有：①②③④，
故选：D．
4．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，是边的垂直平分线，交于G，过点F作于点E，平分交于F，连接，．下列结论：①②③④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【思路点拨】
根据线段垂直平分线的性质，得到；过点F作于点H，证明，得到，结合平分，得到，继而，可证明；利用斜边大于直角边，证明；利用等腰三角形的性质，全等三角形的性质，结合三角形内角和定理证明．
【解题过程】
解：∵是边的垂直平分线，
∴；
故①正确；
过点F作于点H，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，，
∴，
∴，
故④正确；
故选D．
5．（22-23八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则．正确的结论序号是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
【思路点拨】
根据垂直定义可得，再利用，得到，从而可证明，进而得到，即可判断①；根据，，即可判断②，根据三角形面积公式和它们有一条公共边可得，即可判断③，若，根据可以得到，从而可得是的中点，然后可以推出是的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质即可判断④．
【解题过程】
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，，
，故②不正确；
，
，故③正确；
，
，
，
为的中点，
，
为线段的垂直平分线，
，故④正确，
所以，正确结论的序号是：①③④，
故选：D．
6．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，点M，N分别在，上，将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），下列结论：①直线垂直平分；②；③；④若M是中点，则．其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
【思路点拨】
①根据将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），证明直线垂直平分，故①正确；
②证明与不一定相等，得到与不一定相等，故②错误；
③先由①得，直线垂直平分，则，，再根据”等边对等角“证明，，则，再根据是的一个外角，是的一个外角，证明，，进一步证明，根据，得到，则，然后根据，证明，从而得到，故③正确；
④先根据是的中点，证明，再由①得，直线垂直平分，则，再证明，最后证明，即，故④正确．
【解题过程】
解：①∵将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），
∴直线垂直平分，
故①正确；
②∵，
∴，
∴
又∵，
∴与不一定相等，
∴与不一定相等，
∴与不一定相等，
故②错误；
③由①得，直线垂直平分，
∴，，
∴，，
∴
∵是的一个外角，是的一个外角，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴
即，
又∵(已证)，
∴，
故③正确；
④∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，
故④正确；
综上所述，一定正确的有①③④，
故选：D．
7．（22-23八年级上·重庆巴南·期中）如图，在中，，以为边，作，满足，点为上一点，连接，，下列结论：①；②；③若，则；④．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
延长至G，使，从而得到，进一步证明，且，利用证明，则，所以①是正确的，通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设，则，因为，所以，接着用x表示出，再计算出，故③是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故②是错误的．
【解题过程】
解：如图，延长至G，使，设与交于点M，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴①是正确的；
∵，
∴，
∴平分，
当时，，则，
当时，，则无法说明，
∴②是不正确的；
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴③是正确的；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴④是正确的，
故选：C．
8．（22-23七年级下·广西南宁·期末）如图，在中，D为中点，，，于点F，，，则的长为 ．
【思路点拨】
连接，过点E作，交的延长线于N，由，可得；由D为中点，，则可得；证明，再证明即可求得结果．
【解题过程】
解：连接，过点E作，交的延长线于N，如图，
∵，，
∴；
∵D为中点，，
∴；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
∴
故答案为：．
9．（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论：；；；若，则周长等于的长其中正确的有 写出所有正确结论的序号
【思路点拨】
本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键．
延长交于，先利用“”证明，得出，，可判断①符合题意；由，得出，再由三角形外角的性质，可判断②不符合题意；由，，得出，得出，可判断③符合题意；由，，可证明垂直平分，得出，，得出的周长，可判断④符合题意；即可得出答案．
【解题过程】
解：如图，延长交于，
，分别为，边上的高，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，故①符合题意；
，
，
，
，故②不符合题意；
，，
，
，故③符合题意；
，，
，
，
，
垂直平分，
，，
的周长
，故④符合题意．
故答案为：．
10．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F为AC上一点，连接BF交AD于E，过F作MN⊥FB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线上，且DE：BN＝1：7，S△ABD＝15，则S△ABE＝ ．
【思路点拨】
过点F作FG⊥BN于点G，根据已知条件证明△ABD≌△BFG，可得BD＝FG，AD＝BG，再证明△BDE≌△FGN可得DE＝GN，根据DE：BN＝1：7，可得GN：BN＝1：7，设ED＝x，DE：BG＝1：6，可得AD＝BG＝6x， AE＝5x，然后根据S△ABD＝15，进而可得S△ABE．
【解题过程】
解：如图，过点F作FG⊥BN于点G，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∵MN⊥FB，
∴∠FBN+∠FNB＝90°，
∵点M恰在BN的垂直平分线上，
∴MB＝MN，
∴∠ABN＝∠FNB，
∴∠ABN+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠FBN，
∵∠AFB＝∠FBC+∠C＝∠BAD+∠DAC＝∠BAF，
∴BA＝BF，
在△ABD和△BFG中，
，
∴△ABD≌△BFG（AAS），
∴BD＝FG，AD＝BG，
∵∠BED+∠EBD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠BED＝∠ABD＝∠BFG=∠FNG，
在△BDE和△FGN中，
，
∴△BDE≌△FGN（AAS），
∴DE＝GN，
∵DE：BN＝1：7，
∴GN：BN＝1：7，
设ED＝x，
∴DE：BG＝1：6，
∴AD＝BG＝6x，
∴AE＝AD﹣ED＝6x﹣x＝5x，
∵S△ABD＝15，
∴S△ABE＝=．
故答案为：．
11．（23-24八年级上·福建莆田·开学考试）如图，在中，，的角平分线和的平分线相交于点，交于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接并延长交于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的有 ．（填序号）
【思路点拨】
①利用角平分线的性质以及三角形外角的性质，求解即可；
②③延长与交于点，利用全等三角形的判定与性质求解即可；
④在上截取，利用垂直平分线的性质以及全等三角形的性质，求解即可．
【解题过程】
解：设，，
∵平分，平分，
∴，
由三角形外角的性质可得：
∴①正确；
延长与交于点，如下图：
∵
∴
∵平分
∴
又∵，
∴
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴
∴②正确；
同理可得：
∴，③正确；
在上截取，则是的垂直平分线，如下图：
∴
∵
∴，
又∵
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴④正确
故答案为：①②③④
12．（2023·江苏无锡·模拟预测）请用无刻度的直尺和圆规作图：
（1）如图1，在上求作点D，使；
（2）如图2，若点D在边上，在上求作点E，使．
【思路点拨】
（1）作的垂直平分线与的交点即为所求；
（2）如图：由题意得，只要作即可，由第（1）问得，，只要作即可．
【解题过程】
（1）解：如图：
作的垂直平分线与交于D点，
，
与高相同，
．
如图1：点D即为所求；
（2）如图：
由题意得，只要作即可，
作的垂直平分线交于点，
由第（1）问得，，
故只要作即可，
连接、，要使得，只要作，
根据“夹在平行线之间的垂线段相等”，即，高相等，
只要作，
根据“同位角相等，两直线平行”，作，交于点，
如图2：点E即为所求．
13．（2023·江苏扬州·模拟预测）尺规作图：保留作图痕迹，不要求写作法．
（1）过点作一条直线，使其平分的面积．
（2）在上求作一点，使与面积相等．
（3）过点作一条直线，使其平分的面积．
【思路点拨】
（1）作出线段的垂直平分线，垂足为，作直线即可；
（2）作，交与点，点即为所求；
（3）根据（1）的方法作出中线，连接，根据（2）的方法作，交与点，作直线即可．
【解题过程】
（1）解： 如图直线即为所求；
（2）解： 如图，点即为所求；
∵，
∴，
∴，
（3）解：如图，直线即为所求．
理由如下，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线平分的面积．
14．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与相交于点．
（1）若，则的周长为 ；
（2）若，求的度数．
【思路点拨】
本题考查垂直平分线，三角形内角和的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，三角形的内角和，即可．
（1）根据垂直平分线的性质，则，，根据，的周长为：，即可；
（2）垂直平分线的性质，则，，根据三角形内角和，则，再根据对顶角相等，则，根据三角形内角和，则，，最后根据，即可．
【解题过程】
（1）∵，分别垂直平分边和边，
∴，，
∵，
∴，
∵的周长为：，
∴，
故答案为：．
（2）∵，分别垂直平分边和边，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，垂直平分平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，与的周长之差为，且的面积为，求的面积．
【思路点拨】
（1）由线段垂直平分线的性质结合三角形外角的性质易求出，再根据角平分线的定义即得出，最后根据三角形内角和定理求解即可；
（2）由线段垂直平分线的性质结合与的周长之差为，即可求出．过点D作于H．由的面积为，，可求出，结合角平分线的性质定理可得出，即可计算．
【解题过程】
（1）解：∵垂直平分，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵垂直平分，
∴，，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即．
过点D作于H．
∵的面积为，且，，
∴，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
16．（22-23八年级上·福建福州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）在AC的右侧作△DCF，使点F在AC上，且△DCF≌△ABC；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接BD交AC于点P．若AC＝2BC＝4，求PC的长．
【思路点拨】
（1）在CA上截取CF＝CB，然后分别以C、F为圆心，AB、AC为半径画弧，两弧的交点为D，从而得到满足条件的△DCF；
（2）先利用全等三角形的性质得到DF＝AC＝4，CF＝CB＝2，∠DFC＝∠ACB＝90°，作FP的垂直平分线交PD于N，连接FN，作NH⊥DF于H，如图，证明MN＝DF＝BC，再证明△PMN≌△PCB，所以PC＝PM，从而得到PC＝CF．
【解题过程】
（1）解：如图，△DCF为所作；
（2）解：如图2，∵△DCF≌△ABC，
∴DF＝AC＝4，CF＝CB＝2，∠DFC＝∠ACB＝90°，
∴DFBC，
作FP的垂直平分线交PD于N，连接FN，作NH⊥DF于H，如图，
∴NP＝NF，MP＝MF，
∴∠NPF＝∠NFP，
∴∠NDF＝∠NFD，
∴ND＝NF，
∴FH＝DH
∵FH＝MN，
∴MN＝FH＝DH＝2，
∴MN＝BC，
∵MNDF，
∴MNBC，
∴∠PMN＝∠PCB，
在△PMN和△PCB中，
，
∴△PMN≌△PCB（AAS），
∴PC＝PM，
而PM＝MF，
∴PC＝CF＝．
17．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图：在中，，，射线、的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．
（1）如图，若射线、都在的内部，且点与点关于对称，求证：；
（2）如图，若射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，求证：；
（3）如图，若射线、都在的外部，其他条件不变，若，，，求的长．
【思路点拨】
（1）先判断出，再用等式的性质判断出，进而判断出，即可得出结论；
（2）先判断出，再判断出，进而得出，即，即可得出结论；
（3）同（2）的方法判断出，最后用面积建立方程求出的值，即可得出结论．
【解题过程】
（1）证明：如图，连接，
，关于对称，
被垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
即；
（3）解：如图，延长至点，使，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，，
，
，，
，
，
，
．
18．（23-24八年级上·辽宁·期中）在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．
（1）如图1，射线，都在内部．
①若，，则 ；
②作点关于直线的对称点，在图1中找出与线段相等的线段，并证明．
（2）如图2，射线在的内部，射线在的外部，其它条件不变，探究线段之间的数量关系，并证明．
【思路点拨】
（1）①先根据角的运算得出的度数，根据三角形内角和求出的度数；再根据直角三角形两锐角互余可得出的度数，作差可得结论；
②连接，可得出，再根据，，可得出，，所以；进而可得，再由全等三角形的性质可得结论；
（2）在延长线上取点，使．连接．由垂直平分线的性质可得，；设，，所以，由此表达，由，可得，所以，即；由此可得，所以，由此可得结论．
【解题过程】
（1）解：①，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：20；
②，理由如下：
证明：如图1，连接，
，
∵点与点关于直线对称，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：，
证明：如图2，在延长线上取点，使，连接，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
．
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正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。
一、线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
二、线段垂直平分线的判定
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（这样的点需要找两个）
【典例1】如图，的两条高与交于点，，．
（1）求证：；
（2）连结，试说明：是的垂直平分线；
（3）是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点到达点A时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值．
【思路点拨】
（1）证明，即可得到；
（2）先证明，得到，进而得到点在的垂直平分线上，再根据得到点在的垂直平分线上，即可得到是的垂直平分线；
（3）当点在延长线上时，设运动秒，根据得到，，根据得到，进而得到，求得；当点在之间时，设运动秒，根据得到，，根据得到，进而得到，求得，问题得解．
【解题过程】
（1）证明：、是高，
，
在与中，
，
；
（2）证明：，，
，
，
、是高，
．
在与中，，
，
，
点在的垂直平分线上．
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线；
（3）解：①如图1，当点在延长线上时，
设运动秒，、分别运动到如图位置，．
，，
当时，．
，，
，
解得．
②如图2，当点在之间时，
设运动秒，、分别运动到如图位置，．
，，
当时，．
，，
，
解得．
综上所述，或4．
1．（22-23八年级上·山东聊城·期末）如图，线段，的垂直平分线，相交于点O．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，中，是的角平分线，延长至，使得，连接．下列判断：；；平分；的面积的面积，一定成立的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，在四边形中，点E，F分别在，边上，将沿折叠，使点落在点处，连接，．有下面四个结论：
①；②直线是线段的垂直平分线；③；④．
所有正确结论的序号为( )
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
4．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，是边的垂直平分线，交于G，过点F作于点E，平分交于F，连接，．下列结论：①②③④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
5．（22-23八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则．正确的结论序号是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
6．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，点M，N分别在，上，将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），下列结论：①直线垂直平分；②；③；④若M是中点，则．其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
7．（22-23八年级上·重庆巴南·期中）如图，在中，，以为边，作，满足，点为上一点，连接，，下列结论：①；②；③若，则；④．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（22-23七年级下·广西南宁·期末）如图，在中，D为中点，，，于点F，，，则的长为 ．
9．（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论：；；；若，则周长等于的长其中正确的有 写出所有正确结论的序号
10．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F为AC上一点，连接BF交AD于E，过F作MN⊥FB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线上，且DE：BN＝1：7，S△ABD＝15，则S△ABE＝ ．
11．（23-24八年级上·福建莆田·开学考试）如图，在中，，的角平分线和的平分线相交于点，交于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接并延长交于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的有 ．（填序号）
12．（2023·江苏无锡·模拟预测）请用无刻度的直尺和圆规作图：
（1）如图1，在上求作点D，使；
（2）如图2，若点D在边上，在上求作点E，使．
13．（2023·江苏扬州·模拟预测）尺规作图：保留作图痕迹，不要求写作法．
（1）过点作一条直线，使其平分的面积．
（2）在上求作一点，使与面积相等．
（3）过点作一条直线，使其平分的面积．
14．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与相交于点．
（1）若，则的周长为 ；
（2）若，求的度数．
15．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，垂直平分平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，与的周长之差为，且的面积为，求的面积．
16．（22-23八年级上·福建福州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）在AC的右侧作△DCF，使点F在AC上，且△DCF≌△ABC；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接BD交AC于点P．若AC＝2BC＝4，求PC的长．
17．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图：在中，，，射线、的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．
（1）如图，若射线、都在的内部，且点与点关于对称，求证：；
（2）如图，若射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，求证：；
（3）如图，若射线、都在的外部，其他条件不变，若，，，求的长．
18．（23-24八年级上·辽宁·期中）在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．
（1）如图1，射线，都在内部．
①若，，则 ；
②作点关于直线的对称点，在图1中找出与线段相等的线段，并证明．
（2）如图2，射线在的内部，射线在的外部，其它条件不变，探究线段之间的数量关系，并证明．
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专题13.1 垂直平分线中的几何综合
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。
一、线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
二、线段垂直平分线的判定
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（这样的点需要找两个）
【典例1】如图，的两条高与交于点，，．
（1）求证：；
（2）连结，试说明：是的垂直平分线；
（3）是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点到达点A时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值．
【思路点拨】
（1）证明，即可得到；
（2）先证明，得到，进而得到点在的垂直平分线上，再根据得到点在的垂直平分线上，即可得到是的垂直平分线；
（3）当点在延长线上时，设运动秒，根据得到，，根据得到，进而得到，求得；当点在之间时，设运动秒，根据得到，，根据得到，进而得到，求得，问题得解．
【解题过程】
（1）证明：、是高，
，
在与中，
，
；
（2）证明：，，
，
，
、是高，
．
在与中，，
，
，
点在的垂直平分线上．
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线；
（3）解：①如图1，当点在延长线上时，
设运动秒，、分别运动到如图位置，．
，，
当时，．
，，
，
解得．
②如图2，当点在之间时，
设运动秒，、分别运动到如图位置，．
，，
当时，．
，，
，
解得．
综上所述，或4．
1．（22-23八年级上·山东聊城·期末）如图，线段，的垂直平分线，相交于点O．若，则（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
根据线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到，再利用垂直的定义结合直角三角形两锐角互余得到，计算即可．
【解题过程】
解：如图，连接BO并延长至点P，与线段AB交于F，
∵，是、的垂直平分线，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B
2．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，中，是的角平分线，延长至，使得，连接．下列判断：；；平分；的面积的面积，一定成立的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【思路点拨】
利用三角形的角平分线，中线和垂直平分线进行判断即可，
【解题过程】
解：如图，延长交于点，过作于点，
∵，，
∴，
又∵是的平分线，
∴垂直平分，
∴，故正确；
∵，
∴，，
∴，即，故正确；
由题意可知与不一定相等，
则不一定成立；
∵，垂直平分，
∴，
∴，故正确；
综上 正确；
故选：．
3．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，在四边形中，点E，F分别在，边上，将沿折叠，使点落在点处，连接，．有下面四个结论：
①；②直线是线段的垂直平分线；③；④．
所有正确结论的序号为( )
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【思路点拨】
本题考查翻折变换，线段垂直平分线的判定，多边形内角和公式，三角形外角性质，掌握翻折不变性，以及相关性质是解题的关键．
由翻折不变性，可判断①正确；由翻折不变性，可得，，可判断②正确；由多边形内角和公式和翻折不变性，可判断③正确；由三角形外角性质和翻折不变性，可判断④正确；即可解答．
【解题过程】
解： 是由翻折得到的，
，
故①正确；
是由翻折得到的，是由翻折得到的，
，，
点E，点F都在的垂直平分线上，
直线是线段的垂直平分线，
故②正确；
是由翻折得到的，
故③正确；
设与交于点H，
是由翻折得到的，
故④正确；
综上，正确的有：①②③④，
故选：D．
4．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，是边的垂直平分线，交于G，过点F作于点E，平分交于F，连接，．下列结论：①②③④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【思路点拨】
根据线段垂直平分线的性质，得到；过点F作于点H，证明，得到，结合平分，得到，继而，可证明；利用斜边大于直角边，证明；利用等腰三角形的性质，全等三角形的性质，结合三角形内角和定理证明．
【解题过程】
解：∵是边的垂直平分线，
∴；
故①正确；
过点F作于点H，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，，
∴，
∴，
故④正确；
故选D．
5．（22-23八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则．正确的结论序号是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
【思路点拨】
根据垂直定义可得，再利用，得到，从而可证明，进而得到，即可判断①；根据，，即可判断②，根据三角形面积公式和它们有一条公共边可得，即可判断③，若，根据可以得到，从而可得是的中点，然后可以推出是的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质即可判断④．
【解题过程】
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，，
，故②不正确；
，
，故③正确；
，
，
，
为的中点，
，
为线段的垂直平分线，
，故④正确，
所以，正确结论的序号是：①③④，
故选：D．
6．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，点M，N分别在，上，将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），下列结论：①直线垂直平分；②；③；④若M是中点，则．其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
【思路点拨】
①根据将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），证明直线垂直平分，故①正确；
②证明与不一定相等，得到与不一定相等，故②错误；
③先由①得，直线垂直平分，则，，再根据”等边对等角“证明，，则，再根据是的一个外角，是的一个外角，证明，，进一步证明，根据，得到，则，然后根据，证明，从而得到，故③正确；
④先根据是的中点，证明，再由①得，直线垂直平分，则，再证明，最后证明，即，故④正确．
【解题过程】
解：①∵将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），
∴直线垂直平分，
故①正确；
②∵，
∴，
∴
又∵，
∴与不一定相等，
∴与不一定相等，
∴与不一定相等，
故②错误；
③由①得，直线垂直平分，
∴，，
∴，，
∴
∵是的一个外角，是的一个外角，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴
即，
又∵(已证)，
∴，
故③正确；
④∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，
故④正确；
综上所述，一定正确的有①③④，
故选：D．
7．（22-23八年级上·重庆巴南·期中）如图，在中，，以为边，作，满足，点为上一点，连接，，下列结论：①；②；③若，则；④．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
延长至G，使，从而得到，进一步证明，且，利用证明，则，所以①是正确的，通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设，则，因为，所以，接着用x表示出，再计算出，故③是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故②是错误的．
【解题过程】
解：如图，延长至G，使，设与交于点M，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴①是正确的；
∵，
∴，
∴平分，
当时，，则，
当时，，则无法说明，
∴②是不正确的；
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴③是正确的；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴④是正确的，
故选：C．
8．（22-23七年级下·广西南宁·期末）如图，在中，D为中点，，，于点F，，，则的长为 ．
【思路点拨】
连接，过点E作，交的延长线于N，由，可得；由D为中点，，则可得；证明，再证明即可求得结果．
【解题过程】
解：连接，过点E作，交的延长线于N，如图，
∵，，
∴；
∵D为中点，，
∴；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
∴
故答案为：．
9．（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论：；；；若，则周长等于的长其中正确的有 写出所有正确结论的序号
【思路点拨】
本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键．
延长交于，先利用“”证明，得出，，可判断①符合题意；由，得出，再由三角形外角的性质，可判断②不符合题意；由，，得出，得出，可判断③符合题意；由，，可证明垂直平分，得出，，得出的周长，可判断④符合题意；即可得出答案．
【解题过程】
解：如图，延长交于，
，分别为，边上的高，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，故①符合题意；
，
，
，
，故②不符合题意；
，，
，
，故③符合题意；
，，
，
，
，
垂直平分，
，，
的周长
，故④符合题意．
故答案为：．
10．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F为AC上一点，连接BF交AD于E，过F作MN⊥FB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线上，且DE：BN＝1：7，S△ABD＝15，则S△ABE＝ ．
【思路点拨】
过点F作FG⊥BN于点G，根据已知条件证明△ABD≌△BFG，可得BD＝FG，AD＝BG，再证明△BDE≌△FGN可得DE＝GN，根据DE：BN＝1：7，可得GN：BN＝1：7，设ED＝x，DE：BG＝1：6，可得AD＝BG＝6x， AE＝5x，然后根据S△ABD＝15，进而可得S△ABE．
【解题过程】
解：如图，过点F作FG⊥BN于点G，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∵MN⊥FB，
∴∠FBN+∠FNB＝90°，
∵点M恰在BN的垂直平分线上，
∴MB＝MN，
∴∠ABN＝∠FNB，
∴∠ABN+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠FBN，
∵∠AFB＝∠FBC+∠C＝∠BAD+∠DAC＝∠BAF，
∴BA＝BF，
在△ABD和△BFG中，
，
∴△ABD≌△BFG（AAS），
∴BD＝FG，AD＝BG，
∵∠BED+∠EBD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠BED＝∠ABD＝∠BFG=∠FNG，
在△BDE和△FGN中，
，
∴△BDE≌△FGN（AAS），
∴DE＝GN，
∵DE：BN＝1：7，
∴GN：BN＝1：7，
设ED＝x，
∴DE：BG＝1：6，
∴AD＝BG＝6x，
∴AE＝AD﹣ED＝6x﹣x＝5x，
∵S△ABD＝15，
∴S△ABE＝=．
故答案为：．
11．（23-24八年级上·福建莆田·开学考试）如图，在中，，的角平分线和的平分线相交于点，交于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接并延长交于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的有 ．（填序号）
【思路点拨】
①利用角平分线的性质以及三角形外角的性质，求解即可；
②③延长与交于点，利用全等三角形的判定与性质求解即可；
④在上截取，利用垂直平分线的性质以及全等三角形的性质，求解即可．
【解题过程】
解：设，，
∵平分，平分，
∴，
由三角形外角的性质可得：
∴①正确；
延长与交于点，如下图：
∵
∴
∵平分
∴
又∵，
∴
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴
∴②正确；
同理可得：
∴，③正确；
在上截取，则是的垂直平分线，如下图：
∴
∵
∴，
又∵
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴④正确
故答案为：①②③④
12．（2023·江苏无锡·模拟预测）请用无刻度的直尺和圆规作图：
（1）如图1，在上求作点D，使；
（2）如图2，若点D在边上，在上求作点E，使．
【思路点拨】
（1）作的垂直平分线与的交点即为所求；
（2）如图：由题意得，只要作即可，由第（1）问得，，只要作即可．
【解题过程】
（1）解：如图：
作的垂直平分线与交于D点，
，
与高相同，
．
如图1：点D即为所求；
（2）如图：
由题意得，只要作即可，
作的垂直平分线交于点，
由第（1）问得，，
故只要作即可，
连接、，要使得，只要作，
根据“夹在平行线之间的垂线段相等”，即，高相等，
只要作，
根据“同位角相等，两直线平行”，作，交于点，
如图2：点E即为所求．
13．（2023·江苏扬州·模拟预测）尺规作图：保留作图痕迹，不要求写作法．
（1）过点作一条直线，使其平分的面积．
（2）在上求作一点，使与面积相等．
（3）过点作一条直线，使其平分的面积．
【思路点拨】
（1）作出线段的垂直平分线，垂足为，作直线即可；
（2）作，交与点，点即为所求；
（3）根据（1）的方法作出中线，连接，根据（2）的方法作，交与点，作直线即可．
【解题过程】
（1）解： 如图直线即为所求；
（2）解： 如图，点即为所求；
∵，
∴，
∴，
（3）解：如图，直线即为所求．
理由如下，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线平分的面积．
14．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与相交于点．
（1）若，则的周长为 ；
（2）若，求的度数．
【思路点拨】
本题考查垂直平分线，三角形内角和的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，三角形的内角和，即可．
（1）根据垂直平分线的性质，则，，根据，的周长为：，即可；
（2）垂直平分线的性质，则，，根据三角形内角和，则，再根据对顶角相等，则，根据三角形内角和，则，，最后根据，即可．
【解题过程】
（1）∵，分别垂直平分边和边，
∴，，
∵，
∴，
∵的周长为：，
∴，
故答案为：．
（2）∵，分别垂直平分边和边，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，垂直平分平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，与的周长之差为，且的面积为，求的面积．
【思路点拨】
（1）由线段垂直平分线的性质结合三角形外角的性质易求出，再根据角平分线的定义即得出，最后根据三角形内角和定理求解即可；
（2）由线段垂直平分线的性质结合与的周长之差为，即可求出．过点D作于H．由的面积为，，可求出，结合角平分线的性质定理可得出，即可计算．
【解题过程】
（1）解：∵垂直平分，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵垂直平分，
∴，，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即．
过点D作于H．
∵的面积为，且，，
∴，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
16．（22-23八年级上·福建福州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）在AC的右侧作△DCF，使点F在AC上，且△DCF≌△ABC；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接BD交AC于点P．若AC＝2BC＝4，求PC的长．
【思路点拨】
（1）在CA上截取CF＝CB，然后分别以C、F为圆心，AB、AC为半径画弧，两弧的交点为D，从而得到满足条件的△DCF；
（2）先利用全等三角形的性质得到DF＝AC＝4，CF＝CB＝2，∠DFC＝∠ACB＝90°，作FP的垂直平分线交PD于N，连接FN，作NH⊥DF于H，如图，证明MN＝DF＝BC，再证明△PMN≌△PCB，所以PC＝PM，从而得到PC＝CF．
【解题过程】
（1）解：如图，△DCF为所作；
（2）解：如图2，∵△DCF≌△ABC，
∴DF＝AC＝4，CF＝CB＝2，∠DFC＝∠ACB＝90°，
∴DFBC，
作FP的垂直平分线交PD于N，连接FN，作NH⊥DF于H，如图，
∴NP＝NF，MP＝MF，
∴∠NPF＝∠NFP，
∴∠NDF＝∠NFD，
∴ND＝NF，
∴FH＝DH
∵FH＝MN，
∴MN＝FH＝DH＝2，
∴MN＝BC，
∵MNDF，
∴MNBC，
∴∠PMN＝∠PCB，
在△PMN和△PCB中，
，
∴△PMN≌△PCB（AAS），
∴PC＝PM，
而PM＝MF，
∴PC＝CF＝．
17．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图：在中，，，射线、的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．
（1）如图，若射线、都在的内部，且点与点关于对称，求证：；
（2）如图，若射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，求证：；
（3）如图，若射线、都在的外部，其他条件不变，若，，，求的长．
【思路点拨】
（1）先判断出，再用等式的性质判断出，进而判断出，即可得出结论；
（2）先判断出，再判断出，进而得出，即，即可得出结论；
（3）同（2）的方法判断出，最后用面积建立方程求出的值，即可得出结论．
【解题过程】
（1）证明：如图，连接，
，关于对称，
被垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
即；
（3）解：如图，延长至点，使，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，，
，
，，
，
，
，
．
18．（23-24八年级上·辽宁·期中）在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．
（1）如图1，射线，都在内部．
①若，，则 ；
②作点关于直线的对称点，在图1中找出与线段相等的线段，并证明．
（2）如图2，射线在的内部，射线在的外部，其它条件不变，探究线段之间的数量关系，并证明．
【思路点拨】
（1）①先根据角的运算得出的度数，根据三角形内角和求出的度数；再根据直角三角形两锐角互余可得出的度数，作差可得结论；
②连接，可得出，再根据，，可得出，，所以；进而可得，再由全等三角形的性质可得结论；
（2）在延长线上取点，使．连接．由垂直平分线的性质可得，；设，，所以，由此表达，由，可得，所以，即；由此可得，所以，由此可得结论．
【解题过程】
（1）解：①，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：20；
②，理由如下：
证明：如图1，连接，
，
∵点与点关于直线对称，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：，
证明：如图2，在延长线上取点，使，连接，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
．
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