人教版2024-2025学年八年级数学上册专题13.2等腰三角形中的几何综合(压轴题专项讲练)(学生版+解析)
文档属性
| 名称 | 人教版2024-2025学年八年级数学上册专题13.2等腰三角形中的几何综合(压轴题专项讲练)(学生版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-20 19:21:26 | ||
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文档简介
专题13.2 等腰三角形中的几何综合
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。
一、等腰三角形
1．定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形．
2．等腰三角形性质：
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）．特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°．
3．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）．
【典例1】在中，，．点为内部一点，连接，，．
（1）如图1，若，，求点到直线的距离；
（2）如图2，以为直角边作等腰直角，，线段，交于点，若，求证：；
（3）如图3，点在边上，且，点为直线上的一个动点，连接，过点作，且满足，连接，当最短时，请直接写出的度数．
【思路点拨】
（1）过点作于，过点作于，可证得，得出，再由等腰三角形性质可得；
（2）延长交于点，过点作于点，可证得，进而可证，即可证得结论；
（3）作点关于的对称点，连接、，交于点，过点作交的延长线于点，连接，可证得，得出，即点在直线上运动，当且仅当时，最短，即点与点重合，作点关于的对称点，连接，则，即，再利用等腰三角形性质即可求得答案．
【解题过程】
（1）解：过点作于，过点作于，如图，
则，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
即点到直线的距离为；
（2）证明：延长交于点，过点作于点，
则，
是等腰直角三角形，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：如图，作点关于的对称点，连接、，交于点，过点作交的延长线于点，连接，
则，，
，，
，
，
，
，且满足，
，
，
在和中，
，
，
，
即点在直线上运动，
当且仅当时，最短，即点与点重合，
如图，连接，
则，即，
，
，
，
，
，
．
1．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，是等腰三角形，在所在平面内有一点，且使得，，均为等腰三角形，则符合条件的点共有（ ）
A．1个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，，和均为等腰三角形，其中，．连接并延长交，于点，，连接．若平分，则下列选项中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知为等腰三角形，，点F为AC上一点，点D为BC延长线上一点，点E为AB延长线上一点，EF与BC相交于点G，如果，那么下列说法中，正确的个数有（ ）
（1），（2），（3），（4）点G到AB，AC的距离之和为定值．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图，等腰直角三角形中，，D、E分别为、边上点，，交于点F，过点F作交的延长线于点G，交于点M；以下五个结论：①；②；③是等腰三角形；④；恒成立的结论有（ ）
A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①②④
5．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）问题背景：已知，在中，，如果过某一顶点的直线可以将分割成两个等腰三角形，求的大小．
某数学学习小组的成员在自主探究后得出如下结果：①，②，③，④，你认为其中正确的结果有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如下图，在等腰中，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为 ．
7．（2024·四川达州·一模）如图，和都是等腰直角三角形，，点E在边上．将绕点C逆时针旋转，旋转过程中，直线分别与直线，BC交于点M，N，若是等腰三角形，则α的值为 ．
8．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，，（），与交于点，与交于点，连接．当为等腰三角形时，的度数为 ．
9．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③；④、都是等腰三角形．其中正确的是 ．
10．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，和是等腰三角形且，，垂足为．
（1）试说明的理由
（2）猜想和的位置关系，并说明理由；
（3）试说明：．
11．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）问题情境：
定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”．
特例证明：
（1）如图1，若与互为“顶补等腰三角形”．，于，于，求证：；
拓展运用：
（2）如图2，在四边形中，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
12．（23-24八年级上·北京海淀·期中）在等腰中，，点D是边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接，作等腰，使，，点D，E在直线两旁，连接．
（1）如图1，当时，判断与的位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，当时，过点A作于点F，请你在图2中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，不用证明．
13．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）（1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：；
（2）类比探究：如图2，和都是等腰三角形，即，，且，，，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由．
（3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出四边形的面积．
14．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图①，在中，延长到D，使，E是上方一点，且
（1）求证：是等腰三角形；
（2）如图①，若，将沿直线翻折得到，连接和，与交于F，若，求证：F是的中点；
（3）在如图②，若，，连接交于F，交于G．若，（），求线段的长度．
15．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰三角形，从特殊情形到一般情形进行如下探究：
【独立思考】（1）如图1，，即△ABC为等边三角形，D，E分别是上的点，且．
①求证：；
②求的度数；
【实践探究】（2）如图2，在等腰中，，点D是上的点，过点B作于点E．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是上的点，且，当的值最小时，求的度数．
16．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，C为线段上一点，分别以为底边，在的同侧作等腰和等腰，且，在线段上取一点F，使，连接.
（1）如图1，判断与的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若，延长交于点G，探究与的关系，并说明理由.
17．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图1，在等腰中，，，是的角平分线．
（1）直接写出的大小；
（2）求证：；
（3）E在上，过点E作垂线，垂足为点G，延长交的延长线于点F．
①如图2，若E是的中点，求证：；
②如图3，若E是的中点，直接写出三条线段，，之间的数量关系．
18．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图1，为等腰三角形，，点在射线上（不与点，点重合），以为腰长作等腰，于点．
（1）当点在线段上（不与点，点重合），求证：；
（2）在（1）的条件下，连接交于点，若，求的值；
（3）如图2，过点作于直线于点，过点作交直线于点，连接．则点在运动过程中，线段、与有怎样的数量关系？请说明理由．
19．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知在中，，且，作等腰，使得．
（1）如图1，若与互余，则___________；（用含的代数式表示）
（2）如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：；
（3）若与的面积相等，请直接写出的度数．（用含的式子表示）
20．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在中，，，，，动点从点开始出发，沿的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为秒．
（1）填空：当时，（用含的式子表示）；
（2）经过几秒，的面积等于？
（3）当为何值时，是以或为底边的等腰三角形？
（4）直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
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专题13.2 等腰三角形中的几何综合
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。
一、等腰三角形
1．定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形．
2．等腰三角形性质：
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）．特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°．
3．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）．
【典例1】在中，，．点为内部一点，连接，，．
（1）如图1，若，，求点到直线的距离；
（2）如图2，以为直角边作等腰直角，，线段，交于点，若，求证：；
（3）如图3，点在边上，且，点为直线上的一个动点，连接，过点作，且满足，连接，当最短时，请直接写出的度数．
【思路点拨】
（1）过点作于，过点作于，可证得，得出，再由等腰三角形性质可得；
（2）延长交于点，过点作于点，可证得，进而可证，即可证得结论；
（3）作点关于的对称点，连接、，交于点，过点作交的延长线于点，连接，可证得，得出，即点在直线上运动，当且仅当时，最短，即点与点重合，作点关于的对称点，连接，则，即，再利用等腰三角形性质即可求得答案．
【解题过程】
（1）解：过点作于，过点作于，如图，
则，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
即点到直线的距离为；
（2）证明：延长交于点，过点作于点，
则，
是等腰直角三角形，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：如图，作点关于的对称点，连接、，交于点，过点作交的延长线于点，连接，
则，，
，，
，
，
，
，且满足，
，
，
在和中，
，
，
，
即点在直线上运动，
当且仅当时，最短，即点与点重合，
如图，连接，
则，即，
，
，
，
，
，
．
1．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，是等腰三角形，在所在平面内有一点，且使得，，均为等腰三角形，则符合条件的点共有（ ）
A．1个 B．4个 C．5个 D．6个
【思路点拨】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出的垂直平分线，首先的外心满足条件；再根据圆的半径相等，以点为圆心，以长为半径画圆，与的垂直平分线相交于两点，其中一点是点，另一点为符合要求的点；再以点为圆心，以长为半径画圆，与的垂直平分线相交于两点，这两点也符合条件；在的左边作一个，使，结合全等三角形的性质可确定符合条件的点，同理在的右边作一个，也可获得符合条件的点．
【解题过程】
解：如下图，
①作三边的垂直平分线必在三角形内交于一点，这点就是符合要求的点；
②作的垂直平分线，以点为圆心、长为半径画弧，与的垂直平分线有两个交点，其中一点是点，另一点为符合要求的点；
③作的垂直平分线，以点为圆心、长为半径画弧，与的垂直平分线有两个交点，这两点为符合要求的点；
④在的左边作一个，使，这点也是符合要求的点；
⑤同理在的右边作一个，使，这点也是符合要求的点．
所以，共有6个符合条件的点．
故选：D．
2．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，，和均为等腰三角形，其中，．连接并延长交，于点，，连接．若平分，则下列选项中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
本题根据，得到，即可判断A项，根据题意证明，由等腰三角形性质得到，由角平分线性质得到，推出,即可判断B、D项，根据题意继续推出，即可判断C项．
【解题过程】
解：，
，
即，
A项正确，不符合题意．
，，
，
，
又，
，
平分，
，
，
，，
B、D项正确，不符合题意．
，，
，
，
，
，
C项错误，符合题意．
故选：C．
3．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知为等腰三角形，，点F为AC上一点，点D为BC延长线上一点，点E为AB延长线上一点，EF与BC相交于点G，如果，那么下列说法中，正确的个数有（ ）
（1），（2），（3），（4）点G到AB，AC的距离之和为定值．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
本题考查等腰三角形的判定及性质，熟练应用等腰三角形的判定和性质是解题的关键．过点F作，则，从而易证，因此，故（1）正确；在AD上截取，则，且易证为等腰三角形，从而，因此，故（2）正确；连接AG，利用等面积法，易证（4）正确．
【解题过程】
解：如图，过点F作，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故（1）正确；
在AD上截取，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故（2）正确；
连接AG，过点作，，，垂足分别为，，，
，，，
，
，
，
，
点G到AB，AC的距离之和为定值，
故（4）正确；
故选：C
4．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图，等腰直角三角形中，，D、E分别为、边上点，，交于点F，过点F作交的延长线于点G，交于点M；以下五个结论：①；②；③是等腰三角形；④；恒成立的结论有（ ）
A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①②④
【思路点拨】
①首先得出，再利用，得出即可；②③利用，得出，再由，可得，结合可得出，，继而可得出结论；④先大致观察三者的关系，过点B作的垂线，交的延长线于点N，利用（1）的结论可将转化为，转化为，从而在一条直线上得出三者的关系．
【解题过程】
解：因为等腰直角三角形中，，
∴，，
在和中，
，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，为等腰三角形，故③正确；
过点B作的垂线，交的延长线于点N，如图：
∵，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，，
由①可得，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，故④正确；
故选：A
5．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）问题背景：已知，在中，，如果过某一顶点的直线可以将分割成两个等腰三角形，求的大小．
某数学学习小组的成员在自主探究后得出如下结果：①，②，③，④，你认为其中正确的结果有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路点拨】
①当时，则，作的平分线交于点，从而得，，据此可判定和均为等腰三角形，进而可对①进行判断；
②当时，则，作的平分线交于点，从而得，据此可判定和均为等腰三角形，进而可对②进行判断；
③当时，则，作的垂直平分线角于点，连接，则为等腰三角形，，进而得，，由此可判定为等腰三角形，进而可对③进行判断；
④当时，则，作的垂直平分线交于点，连接，则为等腰三角形，从而得，，，由此可判定为等腰三角形，进而可对④进行判断，综上所述可得出答案．
【解题过程】
解：在中，，
，
，
①当时，则，
作的平分线交于点，如图1所示：
，
，
，，
和均为等腰三角形，即直线将分成两个等腰三角形，故①正确；
②当时，则，
作的平分线交于点，如图2所示：
，
，，
和均为等腰三角形，即直线将分成两个等腰三角形，故②正确；
③当时，则，
作的垂直平分线角于点，连接，如图3所示：
则，即为等腰三角形，
，
，，
为等腰三角形，即直线将分成两个等腰三角形，故③正确；
④当时，则，
作的垂直平分线交于点，连接，如图4所示：
则，即为等腰三角形，
，
，，
，
为等腰三角形，即直线将分成两个等腰三角形，故④正确；
综上所述：正确的结果是①②③④，共4个，
故选：C．
6．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如下图，在等腰中，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为 ．
【思路点拨】
过点C作，交的延长线于点F，则的最小值为．延长两线交于点G，证明，，根据全等三角形的性质，得到．
【解题过程】
解：过点C作，交的延长线于点F，延长两线交于点G，
∵平分，
∴，当时，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴的最小值为5，
故答案为：5．
7．（2024·四川达州·一模）如图，和都是等腰直角三角形，，点E在边上．将绕点C逆时针旋转，旋转过程中，直线分别与直线，BC交于点M，N，若是等腰三角形，则α的值为 ．
【思路点拨】
本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形存在性问题等知识，掌握三线合一性质是解题的关键．分①当且点E在内部时，②当时，③当时三种情形分别画出图形，利用等腰三角形的性质求解即可．
【解题过程】
解：依题意可知：，
如图1中，当且点E在内部时，
∵，，
∴ ．
如图2中，当时，点N与点E重合，点M与点F重合，．
如图3中，当且点E在外部时，
∵，，
∴，
∴．
综上所述，满足条件的的值为或或．
故答案为：或或．
8．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，，（），与交于点，与交于点，连接．当为等腰三角形时，的度数为 ．
【思路点拨】
根据，分两种情况讨论：当时，当时，设，过点作，垂足分别为，得出在的角平分线线上，进而根据三角形内角和定理，三角形的外角的性质，即可求解．
【解题过程】
解：如图所示，当时，是等腰三角形，
设，过点作，垂足分别为，
∵，
∴对应边上的高相等，即，
∴在的角平分线线上，
∵是的外角，
∴
∴
∵
∴
解得：
如图所示，当时，是等腰三角形，
设
同理可得,
∴
∵
∴
解得：
，
由于，不存在的情形，
综上所述，的度数为，或．
故答案为：或．
9．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③；④、都是等腰三角形．其中正确的是 ．
【思路点拨】
证明即可判断①，证明即可判断②；过作于点，根据角平分线的性质得，结合，可得，又可得，即可判断③，证明、，可判断④．
【解题过程】
解：①∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和△FBD中，
，
∴，
∴，故①正确；
②∵平分，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，故②正确；
③如图所示，过作于点，
∵是边的中点，，
∴，即，
∴，
又∵平分，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，故③错误；
④∵，
，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∴为等腰三角形，
即、都为等腰三角形，故④正确，
∴正确的是①②④．
故答案为：①②④．
10．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，和是等腰三角形且，，垂足为．
（1）试说明的理由
（2）猜想和的位置关系，并说明理由；
（3）试说明：．
【思路点拨】
（1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可得出，根据领补角的定义，即可得证；
（2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可得出，进而证明，即可得出结论；
（3）延长到，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论．
【解题过程】
（1）证明：∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴；
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）证明：延长到，使得，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
11．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）问题情境：
定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”．
特例证明：
（1）如图1，若与互为“顶补等腰三角形”．，于，于，求证：；
拓展运用：
（2）如图2，在四边形中，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
本题考查等腰三角形性质，全等三角形判定及性质，三角形内角和定理．
（1）利用题意得，再判定即可得到本题；
（2）连接，取的中点，连接，，证明和，再利用三角形内角和即可得到本题答案．
【解题过程】
解：（1）证明：将图中角进行命名：
，
与互为“顶补等腰三角形”，
，，
，
又，，
，，，
，
又，
，
在和中，
，
；
（2）存在．
证明：连接，取的中点，连接，，
，
，，
，
，
是的中点，
，．
，
又，，，
，
，
，
与互为“顶补等腰三角形”．
12．（23-24八年级上·北京海淀·期中）在等腰中，，点D是边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接，作等腰，使，，点D，E在直线两旁，连接．
（1）如图1，当时，判断与的位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，当时，过点A作于点F，请你在图2中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，不用证明．
【思路点拨】
（1）由“”可证，可得，可得结论；
（2），分类讨论：①点F在线段的延长线上时，由（1）可知，，，由“”可证，可得，即可求解；②点F在射线上，画出图形3，结论：．
【解题过程】
（1）解：．理由如下：
∵，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：分类讨论：
①如图，点F在线段的延长线上时，补全图形如图2所示；
理由如下：延长到点G，使．
由（1）可知：，
∴，，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
②如图3，若点F在射线上时，在取点，使得
由（1）可知：，
∴，，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
13．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）（1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：；
（2）类比探究：如图2，和都是等腰三角形，即，，且，，，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由．
（3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出四边形的面积．
【思路点拨】
本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质、三线合一等性质，熟练掌握三角形的有关性质是解题的关键．
（1）根据三角形全等的判定和性质即可解答．
（2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即．
（3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长，最后求出四边形的面积．
【解题过程】
（1）证明：
即
在和中
，
．
（2）与的数量关系是，位置关系是．
理由如下：
，
，即，
在和中，
，
，
，，
是等腰三角形且，
，
，
，
．
（3）解：由（1）的方法得，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
．
，
，
，
，
四边形的面积
14．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图①，在中，延长到D，使，E是上方一点，且
（1）求证：是等腰三角形；
（2）如图①，若，将沿直线翻折得到，连接和，与交于F，若，求证：F是的中点；
（3）在如图②，若，，连接交于F，交于G．若，（），求线段的长度．
【思路点拨】
（1）结合条件中角的关系，由三角形外角的性质，得，证出，得，即可证明结论；
（2）同（1）证出，由翻折得，结合易得，即，由三线合一得F是的中点；
（3）先利用折叠的性质，证明，易得，利用三角形内角和可得，由角的转化得到，最后证明，进而求得．
【解题过程】
（1）证明：∵，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）证明：由（1）可得，
∴，，
如图，连接，
∵将沿直线翻折得到，
∴，
∵，
∴，即．
由三线合一，得：F是的中点；
（3）解：如图，连接，并延长交于点M，
根据折叠的性质，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∴，
∴，
由（2）知，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
在与中，
，
∴，
，
，
．
15．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰三角形，从特殊情形到一般情形进行如下探究：
【独立思考】（1）如图1，，即△ABC为等边三角形，D，E分别是上的点，且．
①求证：；
②求的度数；
【实践探究】（2）如图2，在等腰中，，点D是上的点，过点B作于点E．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是上的点，且，当的值最小时，求的度数．
【思路点拨】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等：
（1）①先由等边对等角和三角形内角和定理得到，再证明，即可证明；②由全等三角形的性质得到，则可推出 ，即可得到；
（2）如图所示，过点C作于点M，则，由三线合一定理得到，再证明，得到，即可得到．
（3）如图所示，在下方，过点C作，且，连接．证明，得到，则当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小，求出，得到，再由，得到，即可求出．
【解题过程】
（1）①证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②解：由①可知，
∴，
∵，
∴ ，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图所示，过点C作于点M，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图所示，在下方，过点C作，且，连接．
∵，,
∴，
∴，
∴
当的值最小时，即的值最小，
∴当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
16．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，C为线段上一点，分别以为底边，在的同侧作等腰和等腰，且，在线段上取一点F，使，连接.
（1）如图1，判断与的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若，延长交于点G，探究与的关系，并说明理由.
【思路点拨】
（1）根据等边对等角和已知条件推出，则可证明，推出，利用证明即可得到结论；
（2）由全等三角形的判定得到，由等边对等角得到，则，由三角形内角和定理得到，则，即可推出．
【解题过程】
（1）解：，理由如下：
等腰和等腰中，和是底边，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
即．
17．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图1，在等腰中，，，是的角平分线．
（1）直接写出的大小；
（2）求证：；
（3）E在上，过点E作垂线，垂足为点G，延长交的延长线于点F．
①如图2，若E是的中点，求证：；
②如图3，若E是的中点，直接写出三条线段，，之间的数量关系．
【思路点拨】
（1）根据等边对等角得到，再根据角平分线得到的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余解题即可；
（2）过点D作，垂足为点M，证明，即可得到，然后解题即可；
（3）①过点D作，垂足为点M，连接，延长交于点N，则可得到，借助（2）得到，，然后推导出，可以证明结论；②延长至点K，使得，交于点N，连接，则有，然后证得，由（2）的结论推导出结果即可．
【解题过程】
（1）解：∵，，
∴，
又∵是的角平分线，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）证明：过点D作，垂足为点M，
∴，
∵平分，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
（3）①证明：①证明：过点D作，垂足为点M，连接，延长交于点N，
∵平分，
∴．
∵，
∴
∴，，
∴，
∴．
由（2）得，，
∴，即，
∵点E为中点，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
②．
延长至点K，使得，交于点N，连接．
又∵，，
∴，
∴，，
∴．
∴，，又，
∴，
∴，
∴．
由（2）得，
∴，
∴，
∴．
18．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图1，为等腰三角形，，点在射线上（不与点，点重合），以为腰长作等腰，于点．
（1）当点在线段上（不与点，点重合），求证：；
（2）在（1）的条件下，连接交于点，若，求的值；
（3）如图2，过点作于直线于点，过点作交直线于点，连接．则点在运动过程中，线段、与有怎样的数量关系？请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据题目中的信息可以得到，与之间的关系，与之间的关系，从而可以解答本题；
（2）由第一问中的两个三角形全等，可以得到各边之间的关系，然后根据题目中的信息找到与的关系，从而可以解答本题；
（3）分情况讨论，作合适的辅助线，构造直角三角形，通过三角形的全等可以找到所求问题需要的边之间的关系，从而可以解答本题．
【解题过程】
（1）证明：，是等腰直角三角形，于．
，，
，
，
在和中，
，
；
（2）∵，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）或理由如下：
如图所示：当P在线段上时，过点作交于点，
，，，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
∴．
当P在线段的延长线上时，如图，过点作交于点，
同理可得：，
∴，
同理可得：，
∴，
∴．
19．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知在中，，且，作等腰，使得．
（1）如图1，若与互余，则___________；（用含的代数式表示）
（2）如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：；
（3）若与的面积相等，请直接写出的度数．（用含的式子表示）
【思路点拨】
（1）根据与互余得 ，根据等腰三角形两底角相等得，即可求出的度数；
（2）作，根据AAS证明 ，则，由等腰三角形三线合一可得，因此，问题得证；
（3）由与的面积相等得高相等.情况①：作于，于,根据可得 ，则可得 ；情况②:是钝角三角形，作于，作垂直于的延长线于，根据可得 ，则可得，由于与互补，因此与互补，即可得出结果．
【解题过程】
（1）解：中，，且=,
，，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）证明：如图，过A点作于E点，
中，，，
，
中，，
，
，
,=，
，
，
，
，
．
在和中，
，
∴ ，
∴，
∴；
（3）解：①如图，作于，于，
∵与的面积相等，
∴，
又∵ ，
∴ ，
∴，
即 ，
，
；
②如图，作于，作垂直于的延长线于，
则，
∵，，
∴，
∵与的面积相等，
∴，
∴ ，
∴，
，
∴，
，
，
综上，或．
20．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在中，，，，，动点从点开始出发，沿的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为秒．
（1）填空：当时，（用含的式子表示）；
（2）经过几秒，的面积等于？
（3）当为何值时，是以或为底边的等腰三角形？
（4）直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
【思路点拨】
（1）先得出点P运动的距离为：，由，判断点P在上，问题随之得解；
（2）先求出，分当点P在上，和当点P在上两种情况，结合三角形的面积列出一元一次方程，解方程即可求解；
（3）当是以为底边的等腰三角形时，即有，根据运动的特点，可得点P运动的距离为：，即有，解得：；当是以为底边的等腰三角形时，过P点作于点T，利用等腰三角形的判定与性质可证明，即有，进而可得方程，解方程即可求解；
（4）根据直线把的周长分成相等的两部分，可得，即可得方程，问题随之得解．
【解题过程】
（1）在中，，，，，
根据运动的特点可知：点P运动的距离为：，
∵，
∴，即点P在上，
∴，
∴ ，
故答案为：；
（2）∵在中，，，，，
∴，
当点P在上，如图，
∵的面积等于，
∴，
∵，
∴，
解得：（秒）；
当点P在上，如图，
此时：点P运动的距离为：，
∵的面积等于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：（秒）；
综上：经过秒或者秒，的面积等于；
（3）当是以为底边的等腰三角形时，如图，
即有，
∴，
根据运动的特点，可得点P运动的距离为：，
∴，
解得：（秒）；
当是以为底边的等腰三角形时，如图，
过P点作于点T，
∵在等腰中，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据运动的特点，可得点P运动的距离为：，
∴，
解得：（秒）；
综上：经过秒或者秒，是以或为底边的等腰三角形；
（4）如图，
∵直线把的周长分成相等的两部分，
∴，
∴，
根据运动的特点，可得点P运动的距离为：，
∴，
解得：，
即当秒时，直线把的周长分成相等的两部分．
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正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。
一、等腰三角形
1．定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形．
2．等腰三角形性质：
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）．特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°．
3．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）．
【典例1】在中，，．点为内部一点，连接，，．
（1）如图1，若，，求点到直线的距离；
（2）如图2，以为直角边作等腰直角，，线段，交于点，若，求证：；
（3）如图3，点在边上，且，点为直线上的一个动点，连接，过点作，且满足，连接，当最短时，请直接写出的度数．
【思路点拨】
（1）过点作于，过点作于，可证得，得出，再由等腰三角形性质可得；
（2）延长交于点，过点作于点，可证得，进而可证，即可证得结论；
（3）作点关于的对称点，连接、，交于点，过点作交的延长线于点，连接，可证得，得出，即点在直线上运动，当且仅当时，最短，即点与点重合，作点关于的对称点，连接，则，即，再利用等腰三角形性质即可求得答案．
【解题过程】
（1）解：过点作于，过点作于，如图，
则，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
即点到直线的距离为；
（2）证明：延长交于点，过点作于点，
则，
是等腰直角三角形，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：如图，作点关于的对称点，连接、，交于点，过点作交的延长线于点，连接，
则，，
，，
，
，
，
，且满足，
，
，
在和中，
，
，
，
即点在直线上运动，
当且仅当时，最短，即点与点重合，
如图，连接，
则，即，
，
，
，
，
，
．
1．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，是等腰三角形，在所在平面内有一点，且使得，，均为等腰三角形，则符合条件的点共有（ ）
A．1个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，，和均为等腰三角形，其中，．连接并延长交，于点，，连接．若平分，则下列选项中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知为等腰三角形，，点F为AC上一点，点D为BC延长线上一点，点E为AB延长线上一点，EF与BC相交于点G，如果，那么下列说法中，正确的个数有（ ）
（1），（2），（3），（4）点G到AB，AC的距离之和为定值．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图，等腰直角三角形中，，D、E分别为、边上点，，交于点F，过点F作交的延长线于点G，交于点M；以下五个结论：①；②；③是等腰三角形；④；恒成立的结论有（ ）
A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①②④
5．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）问题背景：已知，在中，，如果过某一顶点的直线可以将分割成两个等腰三角形，求的大小．
某数学学习小组的成员在自主探究后得出如下结果：①，②，③，④，你认为其中正确的结果有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如下图，在等腰中，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为 ．
7．（2024·四川达州·一模）如图，和都是等腰直角三角形，，点E在边上．将绕点C逆时针旋转，旋转过程中，直线分别与直线，BC交于点M，N，若是等腰三角形，则α的值为 ．
8．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，，（），与交于点，与交于点，连接．当为等腰三角形时，的度数为 ．
9．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③；④、都是等腰三角形．其中正确的是 ．
10．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，和是等腰三角形且，，垂足为．
（1）试说明的理由
（2）猜想和的位置关系，并说明理由；
（3）试说明：．
11．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）问题情境：
定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”．
特例证明：
（1）如图1，若与互为“顶补等腰三角形”．，于，于，求证：；
拓展运用：
（2）如图2，在四边形中，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
12．（23-24八年级上·北京海淀·期中）在等腰中，，点D是边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接，作等腰，使，，点D，E在直线两旁，连接．
（1）如图1，当时，判断与的位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，当时，过点A作于点F，请你在图2中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，不用证明．
13．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）（1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：；
（2）类比探究：如图2，和都是等腰三角形，即，，且，，，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由．
（3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出四边形的面积．
14．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图①，在中，延长到D，使，E是上方一点，且
（1）求证：是等腰三角形；
（2）如图①，若，将沿直线翻折得到，连接和，与交于F，若，求证：F是的中点；
（3）在如图②，若，，连接交于F，交于G．若，（），求线段的长度．
15．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰三角形，从特殊情形到一般情形进行如下探究：
【独立思考】（1）如图1，，即△ABC为等边三角形，D，E分别是上的点，且．
①求证：；
②求的度数；
【实践探究】（2）如图2，在等腰中，，点D是上的点，过点B作于点E．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是上的点，且，当的值最小时，求的度数．
16．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，C为线段上一点，分别以为底边，在的同侧作等腰和等腰，且，在线段上取一点F，使，连接.
（1）如图1，判断与的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若，延长交于点G，探究与的关系，并说明理由.
17．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图1，在等腰中，，，是的角平分线．
（1）直接写出的大小；
（2）求证：；
（3）E在上，过点E作垂线，垂足为点G，延长交的延长线于点F．
①如图2，若E是的中点，求证：；
②如图3，若E是的中点，直接写出三条线段，，之间的数量关系．
18．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图1，为等腰三角形，，点在射线上（不与点，点重合），以为腰长作等腰，于点．
（1）当点在线段上（不与点，点重合），求证：；
（2）在（1）的条件下，连接交于点，若，求的值；
（3）如图2，过点作于直线于点，过点作交直线于点，连接．则点在运动过程中，线段、与有怎样的数量关系？请说明理由．
19．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知在中，，且，作等腰，使得．
（1）如图1，若与互余，则___________；（用含的代数式表示）
（2）如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：；
（3）若与的面积相等，请直接写出的度数．（用含的式子表示）
20．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在中，，，，，动点从点开始出发，沿的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为秒．
（1）填空：当时，（用含的式子表示）；
（2）经过几秒，的面积等于？
（3）当为何值时，是以或为底边的等腰三角形？
（4）直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
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专题13.2 等腰三角形中的几何综合
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。
一、等腰三角形
1．定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形．
2．等腰三角形性质：
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）．特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°．
3．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）．
【典例1】在中，，．点为内部一点，连接，，．
（1）如图1，若，，求点到直线的距离；
（2）如图2，以为直角边作等腰直角，，线段，交于点，若，求证：；
（3）如图3，点在边上，且，点为直线上的一个动点，连接，过点作，且满足，连接，当最短时，请直接写出的度数．
【思路点拨】
（1）过点作于，过点作于，可证得，得出，再由等腰三角形性质可得；
（2）延长交于点，过点作于点，可证得，进而可证，即可证得结论；
（3）作点关于的对称点，连接、，交于点，过点作交的延长线于点，连接，可证得，得出，即点在直线上运动，当且仅当时，最短，即点与点重合，作点关于的对称点，连接，则，即，再利用等腰三角形性质即可求得答案．
【解题过程】
（1）解：过点作于，过点作于，如图，
则，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
即点到直线的距离为；
（2）证明：延长交于点，过点作于点，
则，
是等腰直角三角形，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：如图，作点关于的对称点，连接、，交于点，过点作交的延长线于点，连接，
则，，
，，
，
，
，
，且满足，
，
，
在和中，
，
，
，
即点在直线上运动，
当且仅当时，最短，即点与点重合，
如图，连接，
则，即，
，
，
，
，
，
．
1．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，是等腰三角形，在所在平面内有一点，且使得，，均为等腰三角形，则符合条件的点共有（ ）
A．1个 B．4个 C．5个 D．6个
【思路点拨】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出的垂直平分线，首先的外心满足条件；再根据圆的半径相等，以点为圆心，以长为半径画圆，与的垂直平分线相交于两点，其中一点是点，另一点为符合要求的点；再以点为圆心，以长为半径画圆，与的垂直平分线相交于两点，这两点也符合条件；在的左边作一个，使，结合全等三角形的性质可确定符合条件的点，同理在的右边作一个，也可获得符合条件的点．
【解题过程】
解：如下图，
①作三边的垂直平分线必在三角形内交于一点，这点就是符合要求的点；
②作的垂直平分线，以点为圆心、长为半径画弧，与的垂直平分线有两个交点，其中一点是点，另一点为符合要求的点；
③作的垂直平分线，以点为圆心、长为半径画弧，与的垂直平分线有两个交点，这两点为符合要求的点；
④在的左边作一个，使，这点也是符合要求的点；
⑤同理在的右边作一个，使，这点也是符合要求的点．
所以，共有6个符合条件的点．
故选：D．
2．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，，和均为等腰三角形，其中，．连接并延长交，于点，，连接．若平分，则下列选项中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
本题根据，得到，即可判断A项，根据题意证明，由等腰三角形性质得到，由角平分线性质得到，推出,即可判断B、D项，根据题意继续推出，即可判断C项．
【解题过程】
解：，
，
即，
A项正确，不符合题意．
，，
，
，
又，
，
平分，
，
，
，，
B、D项正确，不符合题意．
，，
，
，
，
，
C项错误，符合题意．
故选：C．
3．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知为等腰三角形，，点F为AC上一点，点D为BC延长线上一点，点E为AB延长线上一点，EF与BC相交于点G，如果，那么下列说法中，正确的个数有（ ）
（1），（2），（3），（4）点G到AB，AC的距离之和为定值．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
本题考查等腰三角形的判定及性质，熟练应用等腰三角形的判定和性质是解题的关键．过点F作，则，从而易证，因此，故（1）正确；在AD上截取，则，且易证为等腰三角形，从而，因此，故（2）正确；连接AG，利用等面积法，易证（4）正确．
【解题过程】
解：如图，过点F作，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故（1）正确；
在AD上截取，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故（2）正确；
连接AG，过点作，，，垂足分别为，，，
，，，
，
，
，
，
点G到AB，AC的距离之和为定值，
故（4）正确；
故选：C
4．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图，等腰直角三角形中，，D、E分别为、边上点，，交于点F，过点F作交的延长线于点G，交于点M；以下五个结论：①；②；③是等腰三角形；④；恒成立的结论有（ ）
A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①②④
【思路点拨】
①首先得出，再利用，得出即可；②③利用，得出，再由，可得，结合可得出，，继而可得出结论；④先大致观察三者的关系，过点B作的垂线，交的延长线于点N，利用（1）的结论可将转化为，转化为，从而在一条直线上得出三者的关系．
【解题过程】
解：因为等腰直角三角形中，，
∴，，
在和中，
，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，为等腰三角形，故③正确；
过点B作的垂线，交的延长线于点N，如图：
∵，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，，
由①可得，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，故④正确；
故选：A
5．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）问题背景：已知，在中，，如果过某一顶点的直线可以将分割成两个等腰三角形，求的大小．
某数学学习小组的成员在自主探究后得出如下结果：①，②，③，④，你认为其中正确的结果有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路点拨】
①当时，则，作的平分线交于点，从而得，，据此可判定和均为等腰三角形，进而可对①进行判断；
②当时，则，作的平分线交于点，从而得，据此可判定和均为等腰三角形，进而可对②进行判断；
③当时，则，作的垂直平分线角于点，连接，则为等腰三角形，，进而得，，由此可判定为等腰三角形，进而可对③进行判断；
④当时，则，作的垂直平分线交于点，连接，则为等腰三角形，从而得，，，由此可判定为等腰三角形，进而可对④进行判断，综上所述可得出答案．
【解题过程】
解：在中，，
，
，
①当时，则，
作的平分线交于点，如图1所示：
，
，
，，
和均为等腰三角形，即直线将分成两个等腰三角形，故①正确；
②当时，则，
作的平分线交于点，如图2所示：
，
，，
和均为等腰三角形，即直线将分成两个等腰三角形，故②正确；
③当时，则，
作的垂直平分线角于点，连接，如图3所示：
则，即为等腰三角形，
，
，，
为等腰三角形，即直线将分成两个等腰三角形，故③正确；
④当时，则，
作的垂直平分线交于点，连接，如图4所示：
则，即为等腰三角形，
，
，，
，
为等腰三角形，即直线将分成两个等腰三角形，故④正确；
综上所述：正确的结果是①②③④，共4个，
故选：C．
6．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如下图，在等腰中，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为 ．
【思路点拨】
过点C作，交的延长线于点F，则的最小值为．延长两线交于点G，证明，，根据全等三角形的性质，得到．
【解题过程】
解：过点C作，交的延长线于点F，延长两线交于点G，
∵平分，
∴，当时，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴的最小值为5，
故答案为：5．
7．（2024·四川达州·一模）如图，和都是等腰直角三角形，，点E在边上．将绕点C逆时针旋转，旋转过程中，直线分别与直线，BC交于点M，N，若是等腰三角形，则α的值为 ．
【思路点拨】
本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形存在性问题等知识，掌握三线合一性质是解题的关键．分①当且点E在内部时，②当时，③当时三种情形分别画出图形，利用等腰三角形的性质求解即可．
【解题过程】
解：依题意可知：，
如图1中，当且点E在内部时，
∵，，
∴ ．
如图2中，当时，点N与点E重合，点M与点F重合，．
如图3中，当且点E在外部时，
∵，，
∴，
∴．
综上所述，满足条件的的值为或或．
故答案为：或或．
8．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，，（），与交于点，与交于点，连接．当为等腰三角形时，的度数为 ．
【思路点拨】
根据，分两种情况讨论：当时，当时，设，过点作，垂足分别为，得出在的角平分线线上，进而根据三角形内角和定理，三角形的外角的性质，即可求解．
【解题过程】
解：如图所示，当时，是等腰三角形，
设，过点作，垂足分别为，
∵，
∴对应边上的高相等，即，
∴在的角平分线线上，
∵是的外角，
∴
∴
∵
∴
解得：
如图所示，当时，是等腰三角形，
设
同理可得,
∴
∵
∴
解得：
，
由于，不存在的情形，
综上所述，的度数为，或．
故答案为：或．
9．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③；④、都是等腰三角形．其中正确的是 ．
【思路点拨】
证明即可判断①，证明即可判断②；过作于点，根据角平分线的性质得，结合，可得，又可得，即可判断③，证明、，可判断④．
【解题过程】
解：①∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和△FBD中，
，
∴，
∴，故①正确；
②∵平分，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，故②正确；
③如图所示，过作于点，
∵是边的中点，，
∴，即，
∴，
又∵平分，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，故③错误；
④∵，
，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∴为等腰三角形，
即、都为等腰三角形，故④正确，
∴正确的是①②④．
故答案为：①②④．
10．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，和是等腰三角形且，，垂足为．
（1）试说明的理由
（2）猜想和的位置关系，并说明理由；
（3）试说明：．
【思路点拨】
（1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可得出，根据领补角的定义，即可得证；
（2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可得出，进而证明，即可得出结论；
（3）延长到，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论．
【解题过程】
（1）证明：∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴；
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）证明：延长到，使得，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
11．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）问题情境：
定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”．
特例证明：
（1）如图1，若与互为“顶补等腰三角形”．，于，于，求证：；
拓展运用：
（2）如图2，在四边形中，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
本题考查等腰三角形性质，全等三角形判定及性质，三角形内角和定理．
（1）利用题意得，再判定即可得到本题；
（2）连接，取的中点，连接，，证明和，再利用三角形内角和即可得到本题答案．
【解题过程】
解：（1）证明：将图中角进行命名：
，
与互为“顶补等腰三角形”，
，，
，
又，，
，，，
，
又，
，
在和中，
，
；
（2）存在．
证明：连接，取的中点，连接，，
，
，，
，
，
是的中点，
，．
，
又，，，
，
，
，
与互为“顶补等腰三角形”．
12．（23-24八年级上·北京海淀·期中）在等腰中，，点D是边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接，作等腰，使，，点D，E在直线两旁，连接．
（1）如图1，当时，判断与的位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，当时，过点A作于点F，请你在图2中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，不用证明．
【思路点拨】
（1）由“”可证，可得，可得结论；
（2），分类讨论：①点F在线段的延长线上时，由（1）可知，，，由“”可证，可得，即可求解；②点F在射线上，画出图形3，结论：．
【解题过程】
（1）解：．理由如下：
∵，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：分类讨论：
①如图，点F在线段的延长线上时，补全图形如图2所示；
理由如下：延长到点G，使．
由（1）可知：，
∴，，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
②如图3，若点F在射线上时，在取点，使得
由（1）可知：，
∴，，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
13．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）（1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：；
（2）类比探究：如图2，和都是等腰三角形，即，，且，，，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由．
（3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出四边形的面积．
【思路点拨】
本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质、三线合一等性质，熟练掌握三角形的有关性质是解题的关键．
（1）根据三角形全等的判定和性质即可解答．
（2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即．
（3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长，最后求出四边形的面积．
【解题过程】
（1）证明：
即
在和中
，
．
（2）与的数量关系是，位置关系是．
理由如下：
，
，即，
在和中，
，
，
，，
是等腰三角形且，
，
，
，
．
（3）解：由（1）的方法得，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
．
，
，
，
，
四边形的面积
14．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图①，在中，延长到D，使，E是上方一点，且
（1）求证：是等腰三角形；
（2）如图①，若，将沿直线翻折得到，连接和，与交于F，若，求证：F是的中点；
（3）在如图②，若，，连接交于F，交于G．若，（），求线段的长度．
【思路点拨】
（1）结合条件中角的关系，由三角形外角的性质，得，证出，得，即可证明结论；
（2）同（1）证出，由翻折得，结合易得，即，由三线合一得F是的中点；
（3）先利用折叠的性质，证明，易得，利用三角形内角和可得，由角的转化得到，最后证明，进而求得．
【解题过程】
（1）证明：∵，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）证明：由（1）可得，
∴，，
如图，连接，
∵将沿直线翻折得到，
∴，
∵，
∴，即．
由三线合一，得：F是的中点；
（3）解：如图，连接，并延长交于点M，
根据折叠的性质，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∴，
∴，
由（2）知，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
在与中，
，
∴，
，
，
．
15．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰三角形，从特殊情形到一般情形进行如下探究：
【独立思考】（1）如图1，，即△ABC为等边三角形，D，E分别是上的点，且．
①求证：；
②求的度数；
【实践探究】（2）如图2，在等腰中，，点D是上的点，过点B作于点E．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是上的点，且，当的值最小时，求的度数．
【思路点拨】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等：
（1）①先由等边对等角和三角形内角和定理得到，再证明，即可证明；②由全等三角形的性质得到，则可推出 ，即可得到；
（2）如图所示，过点C作于点M，则，由三线合一定理得到，再证明，得到，即可得到．
（3）如图所示，在下方，过点C作，且，连接．证明，得到，则当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小，求出，得到，再由，得到，即可求出．
【解题过程】
（1）①证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②解：由①可知，
∴，
∵，
∴ ，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图所示，过点C作于点M，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图所示，在下方，过点C作，且，连接．
∵，,
∴，
∴，
∴
当的值最小时，即的值最小，
∴当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
16．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，C为线段上一点，分别以为底边，在的同侧作等腰和等腰，且，在线段上取一点F，使，连接.
（1）如图1，判断与的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若，延长交于点G，探究与的关系，并说明理由.
【思路点拨】
（1）根据等边对等角和已知条件推出，则可证明，推出，利用证明即可得到结论；
（2）由全等三角形的判定得到，由等边对等角得到，则，由三角形内角和定理得到，则，即可推出．
【解题过程】
（1）解：，理由如下：
等腰和等腰中，和是底边，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
即．
17．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图1，在等腰中，，，是的角平分线．
（1）直接写出的大小；
（2）求证：；
（3）E在上，过点E作垂线，垂足为点G，延长交的延长线于点F．
①如图2，若E是的中点，求证：；
②如图3，若E是的中点，直接写出三条线段，，之间的数量关系．
【思路点拨】
（1）根据等边对等角得到，再根据角平分线得到的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余解题即可；
（2）过点D作，垂足为点M，证明，即可得到，然后解题即可；
（3）①过点D作，垂足为点M，连接，延长交于点N，则可得到，借助（2）得到，，然后推导出，可以证明结论；②延长至点K，使得，交于点N，连接，则有，然后证得，由（2）的结论推导出结果即可．
【解题过程】
（1）解：∵，，
∴，
又∵是的角平分线，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）证明：过点D作，垂足为点M，
∴，
∵平分，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
（3）①证明：①证明：过点D作，垂足为点M，连接，延长交于点N，
∵平分，
∴．
∵，
∴
∴，，
∴，
∴．
由（2）得，，
∴，即，
∵点E为中点，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
②．
延长至点K，使得，交于点N，连接．
又∵，，
∴，
∴，，
∴．
∴，，又，
∴，
∴，
∴．
由（2）得，
∴，
∴，
∴．
18．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图1，为等腰三角形，，点在射线上（不与点，点重合），以为腰长作等腰，于点．
（1）当点在线段上（不与点，点重合），求证：；
（2）在（1）的条件下，连接交于点，若，求的值；
（3）如图2，过点作于直线于点，过点作交直线于点，连接．则点在运动过程中，线段、与有怎样的数量关系？请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据题目中的信息可以得到，与之间的关系，与之间的关系，从而可以解答本题；
（2）由第一问中的两个三角形全等，可以得到各边之间的关系，然后根据题目中的信息找到与的关系，从而可以解答本题；
（3）分情况讨论，作合适的辅助线，构造直角三角形，通过三角形的全等可以找到所求问题需要的边之间的关系，从而可以解答本题．
【解题过程】
（1）证明：，是等腰直角三角形，于．
，，
，
，
在和中，
，
；
（2）∵，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）或理由如下：
如图所示：当P在线段上时，过点作交于点，
，，，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
∴．
当P在线段的延长线上时，如图，过点作交于点，
同理可得：，
∴，
同理可得：，
∴，
∴．
19．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知在中，，且，作等腰，使得．
（1）如图1，若与互余，则___________；（用含的代数式表示）
（2）如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：；
（3）若与的面积相等，请直接写出的度数．（用含的式子表示）
【思路点拨】
（1）根据与互余得 ，根据等腰三角形两底角相等得，即可求出的度数；
（2）作，根据AAS证明 ，则，由等腰三角形三线合一可得，因此，问题得证；
（3）由与的面积相等得高相等.情况①：作于，于,根据可得 ，则可得 ；情况②:是钝角三角形，作于，作垂直于的延长线于，根据可得 ，则可得，由于与互补，因此与互补，即可得出结果．
【解题过程】
（1）解：中，，且=,
，，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）证明：如图，过A点作于E点，
中，，，
，
中，，
，
，
,=，
，
，
，
，
．
在和中，
，
∴ ，
∴，
∴；
（3）解：①如图，作于，于，
∵与的面积相等，
∴，
又∵ ，
∴ ，
∴，
即 ，
，
；
②如图，作于，作垂直于的延长线于，
则，
∵，，
∴，
∵与的面积相等，
∴，
∴ ，
∴，
，
∴，
，
，
综上，或．
20．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在中，，，，，动点从点开始出发，沿的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为秒．
（1）填空：当时，（用含的式子表示）；
（2）经过几秒，的面积等于？
（3）当为何值时，是以或为底边的等腰三角形？
（4）直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
【思路点拨】
（1）先得出点P运动的距离为：，由，判断点P在上，问题随之得解；
（2）先求出，分当点P在上，和当点P在上两种情况，结合三角形的面积列出一元一次方程，解方程即可求解；
（3）当是以为底边的等腰三角形时，即有，根据运动的特点，可得点P运动的距离为：，即有，解得：；当是以为底边的等腰三角形时，过P点作于点T，利用等腰三角形的判定与性质可证明，即有，进而可得方程，解方程即可求解；
（4）根据直线把的周长分成相等的两部分，可得，即可得方程，问题随之得解．
【解题过程】
（1）在中，，，，，
根据运动的特点可知：点P运动的距离为：，
∵，
∴，即点P在上，
∴，
∴ ，
故答案为：；
（2）∵在中，，，，，
∴，
当点P在上，如图，
∵的面积等于，
∴，
∵，
∴，
解得：（秒）；
当点P在上，如图，
此时：点P运动的距离为：，
∵的面积等于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：（秒）；
综上：经过秒或者秒，的面积等于；
（3）当是以为底边的等腰三角形时，如图，
即有，
∴，
根据运动的特点，可得点P运动的距离为：，
∴，
解得：（秒）；
当是以为底边的等腰三角形时，如图，
过P点作于点T，
∵在等腰中，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据运动的特点，可得点P运动的距离为：，
∴，
解得：（秒）；
综上：经过秒或者秒，是以或为底边的等腰三角形；
（4）如图，
∵直线把的周长分成相等的两部分，
∴，
∴，
根据运动的特点，可得点P运动的距离为：，
∴，
解得：，
即当秒时，直线把的周长分成相等的两部分．
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