2024-2025学年山东省高三（上）第一次联考数学试卷（10月份）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年山东省高三（上）第一次联考数学试卷（10月份）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 51.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-19 18:40:32 | ||
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文档简介
2024-2025学年山东省高三（上）第一次联考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数，，则“”是“是增函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C.
D.
5.若对任意的，，函数满足，则( )
A. B. C. D.
6.某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润单位：百万元与新设备运行的时间单位：年，满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，，，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. “，”的否定为“，”
B. 在中，若，则
C. 若，则
D. 若，则
10.由无理数引发的数学危机一直延续到世纪直到年，德国数学家戴德金从连续性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每个元素都小于中的每个元素，称为戴德金分割下列结论正确的是( )
A. ，是一个戴德金分割
B. 存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，没有最小元素
C. 存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，有一个最小元素
D. 存在一个戴德金分割，使得没有最大元素，也没有最小元素
11.已知，，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知非零向量满足，则与的夹角为______．
13.若，且，则 ______．
14.已知正实数，满足，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，函数．
求的单调递减区间；
若在区间上的最大值为，求的最小值．
16.本小题分
记的内角，，所对的边分别为，，，已知．
求；
若是的中线，且，的面积为，求的周长．
17.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
求函数的极大值．
18.本小题分
在中，设内角，，所对的边分别为，，．
若，，是否存在正整数，使得，且为钝角三角形？若存在，求出；若不存在，说明理由．
若，为的中点，，分别在线段，上，且，，求面积的最小值及此时对应的的值．
19.本小题分
当一个函数值域内任意一个函数值都有且只有一个自变量与之对应时，可以把这个函数的函数值作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数例如，由，，得，通常用表示自变量，则写成，我们称，与互为反函数已知函数与互为反函数，若，两点在曲线上，，两点在曲线上，以，，，四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线垂直，则我们称这个矩形为与的“关联矩形”．
若函数，且点在曲线上．
(ⅰ)求曲线在点处的切线方程；
(ⅱ)求以点为一个顶点的“关联矩形”的面积．
若函数，且与的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为证明：参考数据：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
所以，
又，则，
令，
可得，
所以的单调递减区间为；
由，可得，
因为在区间上的最大值为，
所以，即，
由的值域可知，，解得，
故的最小值为．
16.解：由及正弦定理，
可得，
即，
即，
因为，所以，
即，
因为，
所以，又，
则，即；
因为的面积为，
所以，解得，
因为是的中线，且，
所以，
两边平方得，
即，
化简得，解得，
由余弦定理得，
解得，
所以的周长为．
17.解：当时，，，
又，，
曲线在处的切线方程为，即．
，
．
当时，，其符号与的符号一致，
在上单调递减，在上单调递增，无极大值．
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
的极大值为；
当时，恒成立，无极大值．
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
的极大值为．
综上，当时，无极大值；
当时，的极大值为；
当时，无大极值；
当时，的极大值为．
18.解：假设存在正整数满足题设，
由，，可得，所以为钝角，
由，
得，解得，
因为，所以或，
当时，不存在，
故存在满足题设；
如图，因为，，
所以，
在中，因为，所以，
在中，因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时，取得最小值．
19.解：点在曲线上，．
，则，
则曲线在点处的切线方程为，即．
函数与互为反函数，．
根据对称性可设，关于直线对称，可得，则．
若，则直线的方程为，与曲线相切，不符合题意．
若，则直线的方程为，
联立方程组，消去整理得，解得或舍去，
将代入，可得，
则，
则该“关联矩形”的面积．
证明：由，得．
显然，根据对称性可设，关于直线对称，，关于直线对称，且．
设，其中，，且，．
“关联矩形”是正方形，由，得．
由，可得．
令，则，则在上单调递增．
由，可得．．
令，则，
当时，，在上单调递增，
，
从而．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数，，则“”是“是增函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C.
D.
5.若对任意的，，函数满足，则( )
A. B. C. D.
6.某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润单位：百万元与新设备运行的时间单位：年，满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，，，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. “，”的否定为“，”
B. 在中，若，则
C. 若，则
D. 若，则
10.由无理数引发的数学危机一直延续到世纪直到年，德国数学家戴德金从连续性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每个元素都小于中的每个元素，称为戴德金分割下列结论正确的是( )
A. ，是一个戴德金分割
B. 存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，没有最小元素
C. 存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，有一个最小元素
D. 存在一个戴德金分割，使得没有最大元素，也没有最小元素
11.已知，，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知非零向量满足，则与的夹角为______．
13.若，且，则 ______．
14.已知正实数，满足，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，函数．
求的单调递减区间；
若在区间上的最大值为，求的最小值．
16.本小题分
记的内角，，所对的边分别为，，，已知．
求；
若是的中线，且，的面积为，求的周长．
17.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
求函数的极大值．
18.本小题分
在中，设内角，，所对的边分别为，，．
若，，是否存在正整数，使得，且为钝角三角形？若存在，求出；若不存在，说明理由．
若，为的中点，，分别在线段，上，且，，求面积的最小值及此时对应的的值．
19.本小题分
当一个函数值域内任意一个函数值都有且只有一个自变量与之对应时，可以把这个函数的函数值作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数例如，由，，得，通常用表示自变量，则写成，我们称，与互为反函数已知函数与互为反函数，若，两点在曲线上，，两点在曲线上，以，，，四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线垂直，则我们称这个矩形为与的“关联矩形”．
若函数，且点在曲线上．
(ⅰ)求曲线在点处的切线方程；
(ⅱ)求以点为一个顶点的“关联矩形”的面积．
若函数，且与的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为证明：参考数据：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
所以，
又，则，
令，
可得，
所以的单调递减区间为；
由，可得，
因为在区间上的最大值为，
所以，即，
由的值域可知，，解得，
故的最小值为．
16.解：由及正弦定理，
可得，
即，
即，
因为，所以，
即，
因为，
所以，又，
则，即；
因为的面积为，
所以，解得，
因为是的中线，且，
所以，
两边平方得，
即，
化简得，解得，
由余弦定理得，
解得，
所以的周长为．
17.解：当时，，，
又，，
曲线在处的切线方程为，即．
，
．
当时，，其符号与的符号一致，
在上单调递减，在上单调递增，无极大值．
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
的极大值为；
当时，恒成立，无极大值．
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
的极大值为．
综上，当时，无极大值；
当时，的极大值为；
当时，无大极值；
当时，的极大值为．
18.解：假设存在正整数满足题设，
由，，可得，所以为钝角，
由，
得，解得，
因为，所以或，
当时，不存在，
故存在满足题设；
如图，因为，，
所以，
在中，因为，所以，
在中，因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时，取得最小值．
19.解：点在曲线上，．
，则，
则曲线在点处的切线方程为，即．
函数与互为反函数，．
根据对称性可设，关于直线对称，可得，则．
若，则直线的方程为，与曲线相切，不符合题意．
若，则直线的方程为，
联立方程组，消去整理得，解得或舍去，
将代入，可得，
则，
则该“关联矩形”的面积．
证明：由，得．
显然，根据对称性可设，关于直线对称，，关于直线对称，且．
设，其中，，且，．
“关联矩形”是正方形，由，得．
由，可得．
令，则，则在上单调递增．
由，可得．．
令，则，
当时，，在上单调递增，
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从而．
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