2024-2025学年河南省七校高三（上）第二次质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省七校高三（上）第二次质检
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知平面上三个单位向量，，满足，则( )
A. B. C. D.
4.一个盒子中装有个大小相同的小球，其中个红球，个白球若从中任取两个球，则恰有一个红球的概率为( )
A. B. C. D.
5.由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加升的燃油；第二种方案：每次加元的燃油从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是( )
A. 无法确定采用哪种方案划算 B. 两种方案一样划算
C. 采用第一种方案划算 D. 采用第二种方案划算
6.若数列的前项和为，且满足，，，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，，则( )
A. B. C. D.
8.如图所示，直线与曲线相切于，两点，其中若当时，，则函数在上的极大值点个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和为，，且，若，
，则下列说法正确的是( )
A.
B. 数列为等差数列
C. 数列中的最小项为
D. 数列的前项和为
10.已知函数的定义域为，且满足，，则下列结论正确的是( )
A. B. 方程有整数解
C. 是偶函数 D. 是偶函数
11.如图，在长方体中，，，为棱中点，为线段上一动点，下列结论正确的是( )
A. 线段长度的最小值为
B. 存在点，使
C. 存在点，使平面
D. 以为球心，为半径的球体被平面所截的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的展开式中各项系数的和为，则 ______．
13.南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作详解九章算法，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列若某个二阶等差数列的前项为，，，，则该数列的第项为______．
14.在平面直角坐标系中，、分别为、轴上的点，，则以原点为顶点且经过、两点的抛物线的准线斜率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）在中，内角，，的对边分别为，，，其面积．
若，，求；
若，求的最大值，并判断此时的形状．
16.（15分）如图，等腰中，底，，、分别为、的中点，为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图．
求证：平面；
为线段上靠近的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值．
17.（15分）贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一已知该地区某种植园成熟的贵妃杏按个计算的质量单位：克服从正态分布，且，从该种植园成熟的贵妃杏中选取了个，它们的质量单位：克为，，，，，，，，，，这个贵妃杏的平均质量恰等于克．
求．
求．
甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取个，若选取的贵妃杏的质量大于克且不大于克，则赠送个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于克，则赠送个贵妃杏记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为，求的分布列与数学期望．
18.（17分）已知椭圆的右焦点为，离心率为，直线经过点，且与相交于，两点，记的倾斜角为．
求的方程；
求弦的长用表示；
若直线也经过点，且倾斜角比的倾斜角大，求四边形面积的最小值．
19.（17分）已知函数，，．
求函数在处的切线方程；
若恒成立，求实数的取值范围；
设，证明：当时，函数存在唯一的极大值点，且．
参考答案
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15.解：由面积，，，
，得；
由，得，
所以，
所以得最大值为，
此时，，，
因为，
所以，舍或，
从而．
故是以为直角顶点的等腰直角三角形．
16.解：证明：因为，为的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面；
如图：
由知平面，取的中点，连接，则，
以为坐标原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
因为，，所以，
可得，，，，，
由得，
则，，
设为平面的一个法向量，
则，即，令，则，，
所以，
为平面的一个法向量，
所以，，
由图可得平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：由题可得，；
因为，所以，
故；
设人获赠贵妃杏的个数为，
由题可得，，，，
则的所有可能取值为，，，，，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以．
18.解：由题知，又，得到，所以，
故椭圆的方程为．
设，，因为直线经过点，且倾斜角为，
当，设直线的方程为，其中，
由，消得到，
又，
所以，
即；
当时，直线：，由，解得，，此时．
综上，当时，；当时，．
直线也经过点，且倾斜角比的倾斜角大，所以
当时，，，
此时四边形面积为；
当时，易知，，
此时四边形面积为；
当时，可设：，其中，
同理可得，
当且时，四边形面积为，
又，
代入化简得到，
即，
令，
令，则，
所以，对称轴，又，则
当，即时，，此时，
所以四边形面积的最小值为，
又，所以四边形面积的最小值．

19.解：由题意，，，
又，
切线方程为，即；
解：，
当时，，为上的增函数，
存在，，不符合题意；
当时，由，得，
时，，是减函数，
时，，是增函数，
，只需，
设，则，
当时，，为增函数；当时，，为减函数，
则，当且仅当时不等式成立，
综上所述：，即的取值范围是；
证明：，
是上的减函数，由正切函数的性质及可知，
在内，存在唯一实数，使得，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
是的极大值点，
易知，当时，，由可知，
，
下面证明，
令，即证，即，
设，则，是上的增函数，
时，，成立，命题得证．
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