2024-2025学年福建省厦门市集美中学高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年福建省厦门市集美中学高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
3.“”是“函数在上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是( )
A. 或 B. 或 C. 或 D.
6.如图三棱柱中，，分别是、的中点，平面将三棱柱分成体积为，左为，右为两部分，则：( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
7.已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知的定义域为，，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，，且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 的最小值为 D.
10.已知函数，则( )
A.
B. 的值域为
C. 是上的减函数
D. 不等式的解集为
11.在直四棱柱中，底面是菱形，，，为的中点，点满足，，下列结论正确的是( )
A. 若，则点到平面的距离为
B. 若，则四面体的体积是定值
C. 若，则点的轨迹长为
D. 若，，则存在点，使得的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为______．
13.已知函数，若，且，则的取值范围是______．
14.若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在区间内，函数在处取得极小值，在处取得极大值．
Ⅰ 求，的值；
Ⅱ讨论在上的单调性．
16.本小题分
已知椭圆：的焦距为，离心率为．
求的标准方程；
若，直线：交椭圆于，两点，且的面积为，求的值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，在棱上且，，，平面，在棱上存在一点满足平面．
证明：平面平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”若定义在上函数的图象关于点对称，且当时，．
求的值；
设函数．
函数的图象关于点对称，求，的值．
若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中；为坐标原点．
若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；
若点，，求的最大值；
已知点，是直线：上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：Ⅰ，，
函数在处取得极小值，在处取得极大值，
，，
，
联立求解得，．
Ⅱ 由Ⅰ知，，
当时，，的变化情况如下表：
极小值 极大值
在，上单调递减；
在上的单调递增．
16.解：由题意得，，，
又，则，
则，
所以的标准方程为．
由题意设，，如图所示：
联立，
整理得，，
则，，
故．
设直线与轴的交点为，
又，则，
故，
结合，解得．
17.解：证明：底面为矩形，，
由平面，平面，得，
而，，平面，则平面，
又平面，平面平面；
以点为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，由，得，令，
则有，即，，
，由平面 ，得存在实数，使，
即，解得，，
，
设平面的法向量，则，
令，则，，，
设平面的法向量，则，
令，则，，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：因为函数的图象关于点对称，
所以，
令，则．
因为的图象关于对称，
所以，
即，
，
整理得：，
所以，解得；
，
易知函数在上单调递增，
所以，
不妨设在上的值域为，
对任意，总存在，使得成立，
则，
当时，，且，
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
由对称性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
结合对称性可得或，
因为，所以，，
又，，
所以，，
所以当时，成立．
当，即，函数在上单调递增，
由对称可知，在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，，所以，
所以，由，可得，解得．
当，即时，函数在上单调递减，
由对称性可知在上单调递减，
因为，，
所以，所以，由，
可得，解得．
综上，实数的取值范围为．
19.解：，
，
；
设，由题意得：，
即，而表示的图形是正方形，
其中、、、．
即点在正方形的边上运动，，，
可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值，
因此，点有如下两种可能：
点为点，则，可得；
点在线段上运动时，此时与同向，取，
则，
因为，所以的最大值为．
易知，设 ，则 ，
当时，，则，，满足题意；
当时，，
由分段函数性质可知，
又且恒成立，当且仅当时等号成立，
综上，满足条件的直线有且只有两条，：和．
第1页，共1页