2024-2025学年上海市普陀区曹杨二中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年上海市普陀区曹杨二中高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则“”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
2.若，，且，则必有( )
A. B. C. D.
3.在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且，，则该四棱锥的高是( )
A. B. C. D.
4.已知定义在上的函数满足：对任意，都有若函数的零点个数为有限的个，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.设若为纯虚数为虚数单位，则 ______．
6.函数的定义域为______．
7.某校高三年级共有学生名，其中男生名，女生名为了解该校高三年级学生的体育锻炼情况，从中抽取名学生进行问卷调查若采用分层随机抽样的方法，则要抽取男生的人数为______．
8.设，若圆的面积为，则 ______．
9.在无穷等比数列中，首项，公比记，则 ______．
10.设，若函数，的最大值为，但最小值不为，则的取值范围是______．
11.已知为非零常数若在的二项展开式中，的系数是的系数的倍，则 ______．
12.设是曲线上一动点，则的最大值为______．
13.设，，则不等式的解集为______．
14.已知是边长为的等边三角形，是的内切圆上一动点，则的最小值为______．
15.若一个正整数的各位数码从左至右是严格增或严格减的，则称该数为“严格单调数”在不大于的四位数中，“严格单调数”共有______个
16.设椭圆：的左、右焦点分别为、，直线经过点，且与交于、两点若，且，则的长轴长的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为的圆锥，下部是一个底面半径为，高为的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合设是圆锥的顶点，是圆柱下底面的一条直径，、是圆柱的两条母线，是圆弧的中点．
若圆锥的侧面积是圆柱的侧面积，求该几何体的体积
若圆锥的高为，求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
在中，角、、的对边分别为、、设向量，，已知．
求角的大小；
设为边上一点，且若，，求．
19.本小题分
企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成，生产成本固定为每台元根据市场调研，若该产品产量为万台时，每万台产品的销售收入为万元，其中．
若甲企业独家经营，其研发成本为万元，求甲企业能获得利润的最大值；
若乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为万元试问：乙企业产量多少万台时获得的利润最大；假设甲企业按照原先最大利润的产量生产，并未因乙的加入而改变
由于乙企业参与，甲企业将不能得到预期的最大收益，因此会作相应调整，之后乙企业也会随之作出调整，最终双方达到动态平衡在对方当前产量不变的情况下，己方达到利润最大求动态平衡时，两企业各自的产量．
20.本小题分
已知双曲线：的离心率，左顶点过的右焦点作与轴不重合的直线，交于、两点．
求双曲线的方程；
求证：直线、的斜率之积为定值；
设试问：在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
21.本小题分
已知函数，若点是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为；
若，求；
若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程；
若，记函数的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围．
参考答案
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17.解：设圆锥的母线长为，则由题意，
可得，故，
则圆锥的高，
则该几何体的体积为：
；
由题意，是圆弧的中点，则，
则可以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则有，令，可得，，
则平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的大小为．
18.解：因为，，且．
所以，即，
根据余弦定理，得，
所以，可得，结合，可知；
由，可得，
在中，，所以舍负．
所以，可得．

19.解：设甲企业生产该产品产量万台，获得的利润为，
则，
所以当时，取得最大值，
即甲企业能获得利润的最大值为万元．
设乙企业生产该产品产量万台，获得的利润为，
则，
所以当时，取得最大值，
即乙企业产量为万台时获得的利润最大，且最大值为万元．
设甲、乙企业的产量分别为，万台，各自获得的利润分别为，，
则，，
动态平衡时，，均取得最大值，
则有，，
解得，
此时，，
即动态平衡时，甲、乙企业各自的产量均为万台，利润分别是万元，万元．
20.解：设双曲线的半焦距为由题意知，故，因此；
由题意知设直线：，
与双曲线方程联立得，设，，
则 ，
故直线、的斜率之积为
；
由题意知，得，设，
则，，
即，由于，上式即，解得，利用式，，
得，因此存在定点满足题目要求．
21.解：假设存在“特征点”，则存在两条互相垂直的切线，
设为和处的切线，
因为，
所以，
所以不存在“特征点”，
所以．
证明：设“特征点”是在和处的切线的交点，
因为，
所以，
所以在和处的切线方程为，，
联立，解得，即，
因为两条切线相互垂直，
所以，
所以，
所以的所有“特征点”在一条定直线上．
因为，
所以由题意可知不存在图象上的点，使得该点是“特征点”，
先证明：对任意的实数，若图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点，
反证法：假设该点不是切点，
则存在切线，它与函数图象交于点，
所以，
化简得，
因为，所以，
同理可得，
所以，两条切线重合，矛盾，
所以该点本身一定是切点，
假设，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点，
则由上可知，
所以，
，
因为，
所以，
即，
设，则，即，
由题意可知图象上的点都不是“特征点”，即不存在这样的点，
所以方程对无解，
设，其对称轴为，
所以当时，取最小值，
要使得无解，只需，
解得，
所以实数的取值范围．
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