2024-2025学年北京市朝阳区对外经济贸易大学附中高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市朝阳区对外经济贸易大学附中高三（上）开学
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. ， D.
2.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
3.已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.在中，，，则( )
A. 为直角 B. 为钝角 C. 为直角 D. 为钝角
6.已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则( )
A. B. C. D.
7.设和的夹角为是为锐角的条件．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.我国油纸伞的制作工艺巧妙如图，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动如图，伞完全收拢时，伞圈已滑到的位置，且，，三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是( )
A. B.
C. D.
9.已知的半径为，直线与相切于点，直线与交于，两点，为的中点，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
10.已知函数在上恰有个不同的零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域为______．
12.如图所示，规定每个小方格的边长是，又已知向量，则 ______， ______．
13.能使命题“若，则为等腰三角形”为假命题的一组，的值是 ．
14.已知函数．
函数的零点个数为______．
若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是______．
15.已知的三个内角，，所对的边分别为，，，则下列条件能推导出一定为锐角三角形的是______．
；
；
；
．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，，．
Ⅰ求；
Ⅱ若的面积为，求边上的中线的长．
17.本小题分
设函数若在区间上具有单调性，且再从条件，条件，条件这三个条件中选择一个作为已知条件，使函数存在．
Ⅰ求的解析式；
Ⅱ求函数在上的最大值和最小值．
条件：为奇函数；条件：；条件：
18.本小题分
防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用北京地区年至年每年汛末月日水库的蓄水量数据如表：
年份
蓄水量亿立方米
Ⅰ从年至年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的绝对值小于亿立方米的概率；
Ⅱ从年至年的样本数据中随机选取两年的数据，设为蓄水量超过亿立方米的年份个数，求随机变量的分布列和数学期望；
Ⅲ由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？结论不要求证明
19.本小题分
已知函数．
若，求函数的极小值；
设函数，求函数的单调区间；
若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围，
20.本小题分
已知函数，且曲线在处与轴相切．
Ⅰ求，的值；
Ⅱ令，证明函数在上单调递增；
Ⅲ求的极值点个数．
21.本小题分
对于数列，定义，设的前项和为．
Ⅰ设，写出，，，；
Ⅱ证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”；
Ⅲ已知首项为，项数为的数列满足：
对任意且，有；
．
求所有满足条件的数列的个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.，
14.
15.
16.解：Ⅰ由，可得，即，
结合，根据余弦定理得．
所以舍负．
Ⅱ由，得，即，解得，．
所以，
由为边上的中线，可得，
所以，
所以，即边上的中线的长为．
17.解：Ⅰ设的最小正周期为，
在区间上具有单调性，
，解得；
，在区间上单调，
，即的图象关于成中心对称，
若选条件：为奇函数，则的图象关于成中心对称，
因为，这是不可能的，故条件不成立；
若选条件：，，
则的图象关于直线对称，
由，得和为同一周期里面相邻的一条对称轴和对称中心，
，
，
，
，
，又，
，
若选条件：，则的图象关于直线对称，
由，得和为同一周期里面相邻的一条对称轴和对称中心，
，
，
，
，
，又，
，
Ⅱ由Ⅰ知，，
当时，，
，．
18.解：Ⅰ设事件为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于亿立方米”，
从年到年的样本数据中随机选取连续两年共有种可能，
由图表可知，事件包含“年和年”，“年和年”，“年和年”．
所以．
Ⅱ由表可知，到年的样本数据中，蓄水量超过亿立方米有年，蓄水量不超过亿立方米有年．
随机变量的所有可能取值为，，．
，
，
．
所以随机变量的分布列为：

所以．
Ⅲ从年开始连续三年的水库蓄水量方差最大．
19.解：的定义域为，分
当时，，，分
极小
分
所以在处取得极小值分
，
分
当时，即时，在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增；分
当，即时，在上，
所以，函数在上单调递增．分
在上存在一点，使得成立，即
在上存在一点，使得，
即函数在上的最大值小于零．分
由可知
即，即时，在上单调递减，
所以的最小值为，
由可得，
因为，
所以；分
当，即时，在上单调递增，
所以最小值为，由可得；分
当，即时，可得最小值为，
因为，
所以，
故
此时，不成立．分
综上讨论可得所求的范围是：或分
20.解：Ⅰ，
由于曲线在处与轴相切，
则，解得；
Ⅱ证明：由Ⅰ可知，，，
则，
令，则，
由于，
则，
所以，
则函数在上单调递增，
所以，
所以函数在上单调递增；
Ⅲ由Ⅱ可知，函数在上单调递增，且，
则函数在上没有零点，
当时，令，解得，
易知当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即，
又，
故由零点存在性定理可知，函数在上存在唯一零点，
且当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
综上，有且仅有一个极值点，即极值点个数为个．
21.解：Ⅰ因为，，，，，
根据题意可得，，，．
Ⅱ证明：必要性：对，有，
因此．
对任意且，有，，
两式作差，得，即，
因此 ，
综上，对任意，有．
充分性：若对任意，有，则，
所以 ．
综上，“对任意，”的充要条件是“对任意，”．
Ⅲ构造数列：，，
则对任意且，有，．
结合Ⅱ可知，，
又，因此．
设，，，中有项为，
则
，即．
因为，所以或．
若，则与，，，中有项为，即矛盾，不符题意．
若，则，所以当，，，，中有一项为，
其余项为时，数列满足条件．
，，，中有一项为，共种取法；
其余项每项有或两种取法，
所以满足条件的数列的个数为．
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