2024-2025学年天津五十五中高三（上）第一次学情调研数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津五十五中高三（上）第一次学情调研数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则集合为( )
A. B. C. D.
2.对于任意实数，，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知数列是等比数列，，数列是等差数列，前项和为，，则的值是( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.设数列的前项和，数列的前项和，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知奇函数的定义域为，且对任意实数满足，当时，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的部分图象如图所示，其中，，则以下说法正确的个数为( )
函数的最小正周期是；
函数的图象关于直线对称；
把函数图像上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象；
当时，
A. B. C. D.
9.已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
10.的展开式中，常数项为______．
11.袋子中有个大小相同的球，其中红球个，白球个，依次从中不放回的取球，则第一次取到白球且第二次取到红球的概率是______；若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到红球的概率是______．
12.已知等比数列前项和其中，则的最小值是______．
13.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则实数的取值范围是______．
14.已知函数，若，将函数沿轴向右平移单位后得到函数图像关于轴对称，则 ______；若在上单调，则的最大值为______．
15.设，函数与函数在区间内恰有个零点，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，，．
求和的值；
求的值．
17.本小题分
如图所示，在三棱柱中，平面，，，是棱的中点，为棱中点是的延长线与的延长线的交点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值；
Ⅲ求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知等差数列的前项和为，，，数列满足：，．
证明：是等比数列；
证明：；
设数列满足：，求．
19.本小题分
已知无穷数列中，、、、构成首项为，公差为的等差数列，、、、，构成首项为，公比为的等比数列，其中，．
当，时，求数列的通项公式；
若是偶数且，求．
若对任意的，都有成立，记数列的前项和为判断是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20.本小题分
已知函数，，．
求函数在处的切线方程；
若恒成立，求实数的取值范围；
设，证明：当时，函数存在唯一的极大值点，且．
参考答案
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16.解：在三角形中，由，可得，
的面积为，可得：，
可得，又，解得，，
由，可得，
由，解得；
．
17.Ⅰ证明：在三棱柱中，平面，，
则直线，，两两垂直，
以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，
得，，，，，
，，，
设平面的法向量，则
则，令，得，
又，则，
所以，又因为平面，
所以平面；
解：由平面的法向量，又，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
设平面的一个法向量，
又，
则，令，则，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值．
18.解：证明：由，得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则，即；
证明：设等差数列的公差为，
则，得，
所以，，
，，
，得证．
由可得，则，
则．
得，则，
两式相减得：
．
19.解：当时，，
当时，，
所以；
因为是偶数，
所以
；
因为对任意的，都有成立，
所以数列的周期为，
由可得，
又，
所以，
设，
则，
因为，所以，
即，
故时，取得最大值，最大值为，
从而的最大值为，不可能有成立，
故不存在满足条件的实数．
20.解：由题意，，，
又，
切线方程为，即；
解：，
当时，，为上的增函数，
存在，，不符合题意；
当时，由，得，
时，，是减函数，
时，，是增函数，
，只需，
设，则，
当时，，为增函数；当时，，为减函数，
则，当且仅当时不等式成立，
综上所述：，即的取值范围是；
证明：，
是上的减函数，由正切函数的性质及可知，
在内，存在唯一实数，使得，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
是的极大值点，
易知，当时，，由可知，
，
下面证明，
令，即证，即，
设，则，是上的增函数，
时，，成立，命题得证．
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