2024-2025学年上海市普陀区宜川中学高三（上）段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市普陀区宜川中学高三（上）段考数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下图是某地区年至年污染天数单位：天与年份的折线图根据年至年数据，年至年的数据，年至年的数据分别建立线性回归模型，，，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若、是异面直线，，，，，则
D. 平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则
3.已知的三边长分别为、、，记的三个内角的正切值所组成的集合为，则集合中的最大元素为( )
A. B. C. D.
4.已知函数的表达式为，若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.根式写成指数幂形式为______．
6.已知集合，，则 ______．
7.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则 ______．
8.若不等式组的解集为空集，则实数的取值范围为______．
9.已知圆：与圆：外切，则实数 ______．
10.若函数的一个零点是，则函数的最大值为______．
11.若为等差数列的前项和，，，则与的等比中项为________．
12.如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为左焦点、长轴长为万公里、短轴长为万公里的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为左焦点、长轴长为万公里的椭圆轨道绕月飞行，则椭圆轨道的短轴长为______万公里近似到
13.菱形的对角线，沿把面折起，与面成的二面角后，点到平面的距离为______．
14.已知，则 ______．
15.已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内的所有零点之和为______．
16.已知函数，，若，则的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数的表达式为，．
设，求函数，的单调增区间；
设实数，的最小正周期为，若在上恰有个零点，求的取值范围．
18.本小题分
如图，、、为圆锥三条母线，．
证明：；
若圆锥侧面积为为底面直径，，求二面角的大小．
19.本小题分
某市中学体育节开展趣味运动比赛，其中、两个班级进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每局比赛不存在平局，获胜者得分，失败者不得分，其中累计得分领先对方分即可赢得最终胜利，或者局比赛结束积分领先赢得最终胜利假设每局比赛中班获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．
求趣味比赛班以比赢得最终胜利的概率；
此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的局数为，求的分布及数学期望．
20.本小题分
已知双曲线：，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点．
求右焦点到双曲线的渐近线的距离；
若，求直线的方程；
若，其中、两点均在轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围．
21.本小题分
如图，在区间上，曲线与，，轴围成的阴影部分面积记为面积，若为函数的导函数，则设函数．
若，，求的值；
已知，点，过点的直线分别交，于，两点在第一象限，设四边形的面积为，写出的表达式用，表示并证明：；
函数有两个不同的零点，，比较与的大小，并说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.或
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：，
则，
令，，解得，，
当时，
故，
所以函数，的单调增区间为；
的最小正周期为，
则，
故，
当时，
则，
在上恰有个零点，
则，解得，
故的取值范围为
18.证明：取中点，连接，，
因为，，所以，，
又因为，面，，
所以面，又面，
所以；
解：法由可知，，又底面，
作，交于，连接，
由题意≌，可得，
所以为所求的二面角的平面角，连接，则，
因为圆锥侧面积为为底面直径，，
所以底面半径为，母线长为，所以，
，
，，，
，
即，解得，
所以，
所以，
所以二面角的平面角为钝角，
所以二面角的大小为．
法由可知，，又底面，因为圆锥侧面积为为底面直径，，
所以底面半径为，母线长为，所以，
建立以为轴，为轴，以为轴的坐标系，
则可得，
故，
设为平面的一个法向量，
由，，
可得，
令，则，可得，
设为平面的一个法向量，
由，，
可得，
令，则，可得，
则，
设二面角的平面角为，由图可知为钝角，
所以二面角的大小为．
19.解：记事件“班以比赢得最终胜利“，
则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜时，此时班以比赢得最终胜利，
因此；
根据题意可得的可能取值为，，，
当时，即班前两局获胜，或者班前两局获胜，
则．
当时，则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜，或者第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜，；
当时，则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局、两个班级各胜一局，
则；
所以的分布为：
所以的数学期望为．
20.解：由题，右焦点，
渐近线方程为，
因此焦点到渐近线的距离为；
显然，直线不与轴重合，设直线方程为，
由，得，
联立方程，得，
其中，恒成立，，，
代入，消元得，，
即，解得，
所以，直线的方程为；
延长交双曲线于点，延长交双曲线于点则由对称性得，四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的倍，
由题，设，直线程为，直线方程，
由第问，易得，
因为，得，即，因而，
平行线与之间的距离为，
因此，，
令，则，
故
得在上是严格增函数，
故等号当且仅当时成立
所以，四边形面积的取值范围为．
21.解：设，则，
所以 ．
依题意，四边形为梯形或矩形，又，则，
，下证，
而，只需证，
令，只需证，
，设，则，
在上单调递增，则，在上单调递增，
因此，所以．
，因为，为的零点，则，
设，则有，即，于是，
由知，则有，因此，
，则，即 ，所以．
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