辽宁省点石联考2025届高三上学期10月阶段考试数学试题（含答案）

辽宁省点石联考2025届高三上学期10月阶段考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知为单位向量，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知是奇函数，是偶函数，且，则的最小值是
A. B. C. D.
6.已知函数对任意满足，任意，且，都有，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若对任意，，使得恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列中，，，则( )
A. 公比为 B.
C. 当时， D. 的前项积为
10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 是偶函数
D. 将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象
11.设函数的 定义域为，且为奇函数，为偶函数，若当时，，则( )
A. 关于点中心对称，关于直线轴对称
B. 在上单调递增
C. 为奇函数
D. 方程仅有个不同的实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.“三角形全等”是“三角形相似”的 条件．填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”
13.赵爽是我国古代数学家大约在公元年，他为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”以弦为边长得到的正方形由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则可以推出
14.已知数列满足，，其中为函数的极值点，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列与等差数列，若，，．
求，的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
在锐角中，内角的对边分别为，已知．
求；
若，求面积的最大值．
17.本小题分
已知．
试将表示为的函数，并求出定义域和值域；
是否存在实数，使得方程有实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知函数，．
若曲线在点处的切线斜率为，求此切线方程；
若关于的不等式恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知，，，，，为边上一点异于由引边的垂线是垂足，再由引边的垂线是垂足，又由引边的垂线是垂足．同样的操作连续进行，得到点设，如图所示．
求及的值；
根据上述已知条件的研究发现如下结论：，问这个结论是否正确，并说明理由；
用和表示．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.充分不必要
13.
14.或
15.解：因为，所以，
又，得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，故，
则，
设等差数列的公差为，则，解得，
所以 ；
由知，，，
所以，
所以，
，
两式相减，得


，
故．

16.
解：因为，
所以．
由正弦定理得，
因为，所以，故，
则
因为，所以，，
又因为函数在上单调递减，
所以，即．
解：由余弦定理知，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以面积，
即面积的最大值为：

17.
由，
得，
所以
所以，所以，
由解得，所以，
令，令
在恒成立
所以函数在上单调递减，所以，所以的值域为
所以，定义域为，值域为．
令，
方程，即，
则，，所以，
所以当时，方程有实数根．

18.
易知，
则，由题意得，
解，
又，所以曲线在点处的切线方程为，
即．
设的定义域为
，
设，则，
所以在上单调递减，又，
，在上的图象是连续不断的，
所以存在，使
当时，，即，函数单调递增，
当时，，即，函数单调递减，
所以．
设，则，所以单调递增，
所以恒成立等价于恒成立，
所以，即恒成立，
因为在上单调递减，且，
所以只需恒成立，即，解得．
故的取值范围是．

19.
因为，
所以，得到．
所以．
结论正确，证明如下：
由及已知，得，．
由余弦定理知．
又，则．
所以，即．
由已知，
因为，所以．
所以
即，也即．
所以，，
当时，是常数列，所以；
当时，是以为首项，公比为的等比数列，
所以，所以．

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