海南省海口市2025届高三上学期摸底考试数学试题（含答案）

海南省海口市2025届高三上学期摸底考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数，则的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.海口市作为首批“国际湿地城市”，有丰富的湿地资源和独特的生态环境，海口市某中学一研究性学习小组计划利用月日至月日共天假期实地考察美舍河湿地公园、五源河湿地公园、三江红树林湿地公园、潭丰洋湿地公园和响水河湿地公园个湿地公园，每天考察个，其中对美舍河湿地公园的考察安排在月日或月日，则不同的考察安排方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.如图，在平面四边形中，与交于点，且，，，剪去，将沿翻折，沿翻折，使点与点重合于点，则翻折后的三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.已知是抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校为了解学生的身体状况，随机抽取了名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据单位：千克全部介于至之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则( )
A. 频率分布直方图中的值为
B. 这名学生体重的众数约为
C. 该校学生体重的上四分位数约为
D. 这名学生中体重不低于千克的人数约为
10.函数的部分图象如图所示，则下列命题正确的是( )
A.
B.
C. 关于对称
D. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数
11.在平面直角坐标系中，已知两定点，，直线，相交于点，且直线与直线的斜率之积为，其中，下列选项正确的是( )
A. 当时，动点的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆，且除去，两点
B. 当时，动点的轨迹为焦点在轴上的双曲线，且除去，两点
C. 当且时，动点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且除去，两点
D. 当，时，动点的轨迹为曲线，过点且倾斜角为的直线与曲线交于，两点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则 ．
13.记的内角，，的对边分别为，，，已知，且，则 ．
14.已知函数，若存在唯一的负整数，使得，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记为数列的前项和，已知．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在正四棱柱中，，点满足，是的中点．
证明：过、、三点的平面截正四棱柱所得的截面为梯形；
若，求二面角的正弦值．
17.本小题分
制定适合自己的学习计划并在学习过程中根据自己的实际情况有效地安排和调整学习方法是一种有效的学习策略．某教师为研究学生制定学习计划并坚持实施和数学成绩之间的关系，得到如下数据：
成绩分 成绩分 合计
制定学习计划并坚持实施
没有制定学习计划
合计
依据小概率值的独立性检验，能否认为“制定学习计划并坚持实施”和“数学成绩高于分”有关联？
若该校高三年级每月进行一次月考，该校学生小明在高三开学初认真制定了学习计划，其中一项要求自己每天要把错题至少重做一遍，做对为止．以下为小明坚持实施计划的月份和他在学校数学月考成绩的校内名次数据：
月考时间 月初 月初 次年月初 次年月初 次年月初
时间代码
月考校内名次
参考数据：，．
(ⅰ)求月考校内名次与时间代码的线性回归方程；
(ⅱ)该校老师给出了上一年该校学生高考月初考试数学成绩在校内的名次和在全省名次的部分数据：
校内名次
全省名次
利用数据分析软件，根据以上数据得出了两个回归模型和决定系数：
模型 模型
在以上两个模型中选择“较好”模型说明理由，并结合问题(ⅰ)的回归方程，依据“较好”模型预测小明如果能坚持实施学习计划，他在次年高考中数学成绩的全省名次名次均保留整数参考数据：，，
附：，其中．
对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
18.本小题分
已知函数．
当时，求函数在处的切线方程；
讨论的单调性；
若有两个不同的零点，，求的取值范围．
19.本小题分
对于二次曲线，我们有：若是曲线上的一点，则过点与曲线相切的直线方程为已知椭圆，，动圆，点是与在第一象限的交点．
求椭圆的离心率；
过点作动圆的切线，经过椭圆的右焦点，求与满足的关系式；
若，直线与，均相切，切点在上，切点在上，求的最大值．
参考答案
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14.
15.
解：因为为数列的前项和，且，
当时，则有，解得；
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，整理得，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
因此，．
解：因为，
所以，
．

16.
证明：在正四棱柱中，以点为坐标原点，、、的方向
分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
设平面交棱于点，
设，则、、，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，
因为，，
因为，设，即，
所以，，解得，所以，，即且，
因此，过、、三点的平面截正四棱柱所得的截面为梯形．
解：因为，则、、、，
，，
设平面的法向量为，则
取，则，，所以，，
易知平面的一个法向量为，
所以，，
所以，，
因此，二面角的 正弦值为．

17.
零假设：制定学习计划并坚持实施和数学成绩高于分没有关联
因为，
依据小概率值的独立性检验认为不成立，
即认为“制定学习计划并坚持实施”和“数学成绩高于分”有关联
，
，
，
．
回归直线方程为，
模型较好，由于模型与模型相比较，模型决定系数大于模型，因此拟合效果更好，
由于回归直线方程为，当六月初月考时，，小明的月考校内名次预测值为，
故省内排名预测为．

18.
当时，，则，
故，
故在处的切线方程为
，
当时，令，解得或，令，解得，
故此时在单调递增，在的单调递减，
当时，在上恒成立，故此时在单调递增，
当时，令，解得或，令，解得，
故此时在单调递增，在的单调递减，
当时，，故在的单调递减，在单调递增，
当时，令，解得，令，解得，
故此时在的单调递减，在单调递增，
，
令，则，
记，则，
当时，，当时，，
故在单调递增，在单调递减，
且，当时恒成立，
要使有两个零点，则由两个交点，
故，解得

19.
在椭圆中，由，得，
所以椭圆的离心率．
椭圆，由，解得，
而，则，
圆在处切线方程为，又过焦点，则，
所以．
当时，椭圆，，设，
椭圆在处切线为，圆在处切线为，
由直线与均相切，得，即，
由，得，解得，
，当且仅当，即时取等号，
即的最大值为，所以的最大值为．

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