2024-2025学年北京市中国人民大学附中朝阳学校高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年北京市中国人民大学附中朝阳学校高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共11小题，每小题5分，共55分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. ， D. ，
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则( )
A. B. C. D.
5.已知数列是的无穷等比数列，则“为递增数列”是“且，”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.设等差数列的前项和为，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.函数，其中，其最小正周期为，则下列说法中错误的个数是( )
函数图象关于点对称
函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为
若，则函数的最大值为
A. B. C. D.
8.已知正方形的边长为，动点在以为圆心且与相切的圆上，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放废水符合排放标准，则改良工艺次数最少要参考数据：次．
A. B. C. D.
10.定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，则( )
A. 是偶函数，且在上单调递增 B. 是奇函数，且在上单调递减
C. 是偶函数，且在上单调递增 D. 是奇函数，且在上单调递减
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
12.函数的定义域是______．
13.在中，，，则 ______．
14.已知数列的通项公式为，的通项公式为记数列的前项和为，则 ；的最小值为 ．
15.在中，，，，则的面积为______．
16.已知函数．
函数的零点个数为______．
若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，已知．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ若，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件：；
条件：；
条件：的周长是．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
Ⅰ求的值；
Ⅱ从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求函数在上的最大值和最小值．
条件：函数是奇函数；
条件：将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象；
条件：．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在处的切线方程；
Ⅱ求函数在区间上的极值点个数．
20.本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ若恒成立，求的值；
Ⅲ若有两个不同的零点，且，求的取值范围．
21.本小题分
有穷数列，，，中，令，
当时，规定．
Ⅰ已知数列，，，，写出所有的有序数对，且，使得；
Ⅱ已知整数列，，，，为偶数，若，满足：当为奇数时，；当为偶数时，求的最小值；
Ⅲ已知数列，，，满足，定义集合，，，，若且为非空集合，求证：．
参考答案
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14.
15.
16.
17.解：Ⅰ因为，
可得，
由余弦定理可得，
而，
可得；
Ⅱ若选：，所以角有两个，不符合条件；
若选：因为，由正弦定理可得，
在三角形中，
可得，
所以，，
且，
由正弦定理可得：，即，可得，
所以；
若选：的周长是，因为，
可得，
由正弦定理可得，
可得，，
所以，
即，
整理可得：，
即，，
在三角形中，角有两个，不符合条件．
综上所述：只有符合条件，且此时三角形的面积为．
18.解：Ⅰ由题意知，即，
因为，所以，解得．
Ⅱ选择条件：函数是奇函数，
则，
因为函数是奇函数，所以，即，
因为，所以，
于是，，
因为，
所以，
当，即时，取得最大值为．
当，即时，取得最小值为；
选择条件：将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，
因为其图象与的图象相同，
所以，
所以，
因为，所以，
于是，，
因为，
所以，
当，即时，取得最大值为．
当，即时，取得最小值为；
选择条件：，
所以，，
此时不存在．
19.解：Ⅰ因为，
所以，
所以，，
故曲线在处的切线方程为；
Ⅱ，
设，则，
令，得，，，
故当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又，，，，，
故存在，使得，
则在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故在区间上有且仅有两个极值点．
20.解：由，得，
因为，，
所以曲线在点处的切线方程为；
，
当时，，不符合题意；
当时，令，解得，
当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，
所以当时，取得最小值，，
若恒成立，则，
设，则，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
所以，即的解为，
所以；
当时，，在区间上单调递增，
所以至多有一个零点，不符合题意；
当时，因为，不妨设，
若，则，不符合题意；
若，则，
由可知，只需，即，
解得，
即的取值范围为．
21.解：为时，，
为时，，
为时，，
为时，，
故，且使得的有序数对有、、、；
由题意可得，，
又为整数，故，，
则，
同理可得，
即有，
同理可得，时，有，
即当时，有，
当时，，
故
；
证明：对于数列，，，不妨设，
首先考虑，的情况，
由于，，故同理，，，
故，
再考虑，，，中有连续一段是连续的正整数的情况，
此时，，，，，
因为，，
故这说明此连续的项的和为负．
同理，当含有多段的连续正整数的情况时，每段的和为负，
再由中结论，可得，
若在中，，，，，由于，
此时去掉前项，则可转化的情况，所以有，
若，则，
所以此时有，
综上，结论成立．
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