2024-2025学年天津市津南区咸水沽一中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年天津市津南区咸水沽一中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 50.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-19 19:34:46 | ||
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文档简介
2024-2025学年天津市津南区咸水沽一中高三（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“，”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.下列函数中，既是偶函数，又在区间内是增函数的为( )
A. ， B. ，
C. ， D.
4.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.的内角，，所对的边分别为，，，若，则形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
6.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则( )
A. B.
C. D.
7.已知函数的图象与轴的两个相邻交点的横坐标分别为、，下面四个有关函数的叙述中，正确结论的个数为( )
函数的图象关于原点对称；
在区间上，函数的最大值为；
直线是函数图象的一条对称轴；
将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，若、、为这两个函数图象的交点，则面积的最小值为．
A. B. C. D.
8.已知函数，若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.已知菱形的边长为，，点，分别在边，上，，若，，则等于( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知复数，其中是虚数单位，则的模是 ．
11.的展开式的常数项是______用数字作答
12.函数在的单调递减区间是______．
13.甲、乙、丙三人射击的命中率分别为，，，现要求三人各射击一次，假设每人射击相互独立，则至少有一人命中的概率为______；记三人命中总次数为，则 ______．
14.已知菱形的边长为，，点在边上，，设，，在上，若，则 ______，若为线段上的动点，则的最大值为______．
15.设，，若函数在内有个零点，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别是，，已知，，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值．
17.本小题分
已知函数，．
求的最小正周期和单调递减区间；
当时，求的最大值和最小值；
若，，求的值．
18.本小题分
在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，，，，为的中点．
求证：平面；
求与平面所成角的正弦值；
在线段上是否存在点，使平面和平面的夹角大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知数列的前项和，满足，且．
证明：数列是等比数列；
求数列的前项和；
若，求数列的前项和．
20.本小题分
已知函数，其中．
求的单调区间；
当时，斜率为的直线与函数的图象交于两点，，其中，证明：；
是否存在，使得对任意恒成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.和
13.
14.
15.
16.解：Ⅰ由，得，
即，且，
．
由余弦定理可得：．
，
解得．
Ⅱ．
，则，
，
．
17.，
所以的最小正周期为，
由，解得，
所以的单调递减区间为；
因为，所以，所以，
所以，
所以的最大值为，最小值为；
由题意可得，，，所以，
因为，所以，
则，
所以
．
18.解：证明：设与交于，连接，
四边形是平行四边形，
是的中点，又是的中点，
，又平面，平面，
平面；
四边形是菱形，，是的中点，
，又四边形是矩形，
且平面平面，平面平面，
平面，
故以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴，建系如图，
则，
，，
设平面的法向量为，
则，取，
设与平面所成的角为，
与平面所成角的正弦值为：
；
设，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，
又平面的一个法向量，
，解得，
在线段上不存在点，使平面和平面的夹角大小为．
19.解：证明：由，且，
可得，
化为，
即有数列是首项为，公比为的等比数列；
由等比数列的通项公式，可得，
即，
则，
，
上面两式相减可得
，
化简可得；
由，
可得，
则．
20.解：，，
当时，，即在上是增函数．
当时，时，，故在上单调递增；
时，，故在上单调递减．
综上所述，当时，的增区间为；
当时，的单调增区间为，的单调减区间为；
当时，，
，
．
要证，即证，
，即证．
令，即证．
令，
由知，在上单调递减，
，即，则
令，
则，
在上单调递增，
则，即
综合得：，即；
由已知，
即为，，
即，．
令，，
则，
当时，，故在上单调递增，
由，则，矛盾．
当时，由，解得，由，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
．
即讨论恒成立，求的最小值．
令，则，
当，即时，单调递增，
当，即时，单调递减，
时，，
又，
不存在整数，使得，
综上所述，不存在满足题意的整数．
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数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“，”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.下列函数中，既是偶函数，又在区间内是增函数的为( )
A. ， B. ，
C. ， D.
4.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.的内角，，所对的边分别为，，，若，则形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
6.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则( )
A. B.
C. D.
7.已知函数的图象与轴的两个相邻交点的横坐标分别为、，下面四个有关函数的叙述中，正确结论的个数为( )
函数的图象关于原点对称；
在区间上，函数的最大值为；
直线是函数图象的一条对称轴；
将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，若、、为这两个函数图象的交点，则面积的最小值为．
A. B. C. D.
8.已知函数，若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.已知菱形的边长为，，点，分别在边，上，，若，，则等于( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知复数，其中是虚数单位，则的模是 ．
11.的展开式的常数项是______用数字作答
12.函数在的单调递减区间是______．
13.甲、乙、丙三人射击的命中率分别为，，，现要求三人各射击一次，假设每人射击相互独立，则至少有一人命中的概率为______；记三人命中总次数为，则 ______．
14.已知菱形的边长为，，点在边上，，设，，在上，若，则 ______，若为线段上的动点，则的最大值为______．
15.设，，若函数在内有个零点，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别是，，已知，，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值．
17.本小题分
已知函数，．
求的最小正周期和单调递减区间；
当时，求的最大值和最小值；
若，，求的值．
18.本小题分
在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，，，，为的中点．
求证：平面；
求与平面所成角的正弦值；
在线段上是否存在点，使平面和平面的夹角大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知数列的前项和，满足，且．
证明：数列是等比数列；
求数列的前项和；
若，求数列的前项和．
20.本小题分
已知函数，其中．
求的单调区间；
当时，斜率为的直线与函数的图象交于两点，，其中，证明：；
是否存在，使得对任意恒成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.和
13.
14.
15.
16.解：Ⅰ由，得，
即，且，
．
由余弦定理可得：．
，
解得．
Ⅱ．
，则，
，
．
17.，
所以的最小正周期为，
由，解得，
所以的单调递减区间为；
因为，所以，所以，
所以，
所以的最大值为，最小值为；
由题意可得，，，所以，
因为，所以，
则，
所以
．
18.解：证明：设与交于，连接，
四边形是平行四边形，
是的中点，又是的中点，
，又平面，平面，
平面；
四边形是菱形，，是的中点，
，又四边形是矩形，
且平面平面，平面平面，
平面，
故以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴，建系如图，
则，
，，
设平面的法向量为，
则，取，
设与平面所成的角为，
与平面所成角的正弦值为：
；
设，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，
又平面的一个法向量，
，解得，
在线段上不存在点，使平面和平面的夹角大小为．
19.解：证明：由，且，
可得，
化为，
即有数列是首项为，公比为的等比数列；
由等比数列的通项公式，可得，
即，
则，
，
上面两式相减可得
，
化简可得；
由，
可得，
则．
20.解：，，
当时，，即在上是增函数．
当时，时，，故在上单调递增；
时，，故在上单调递减．
综上所述，当时，的增区间为；
当时，的单调增区间为，的单调减区间为；
当时，，
，
．
要证，即证，
，即证．
令，即证．
令，
由知，在上单调递减，
，即，则
令，
则，
在上单调递增，
则，即
综合得：，即；
由已知，
即为，，
即，．
令，，
则，
当时，，故在上单调递增，
由，则，矛盾．
当时，由，解得，由，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
．
即讨论恒成立，求的最小值．
令，则，
当，即时，单调递增，
当，即时，单调递减，
时，，
又，
不存在整数，使得，
综上所述，不存在满足题意的整数．
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