2024-2025学年四川省成都市石室中学高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年四川省成都市石室中学高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一，奖牌榜第二的优异成绩首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在米气步枪混合团体赛中获得，两人在决赛中次射击环数如图，则( )
A. 盛李豪的平均射击环数超过
B. 黄雨婷射击环数的第百分位数为
C. 盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差
D. 黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差
3.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.已知实数，，满足，且，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
5.“函数的值域为”的一个充分不必要条件是( )
A. B.
C. D.
6.核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，
但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡已知氚的半衰期约为年，则氚含量变成初始量的大约需要经过年
A. B. C. D.
7.若函数的图象如图所示，则如图对应的函数可能是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则方程的所有根之和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的定义域为，，则( )
A. B.
C. 是奇函数 D. 在上单调递增
10.已知复数，的共轭复数分别为，，则下列命题为真命题的是( )
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则
11.设函数，则下面说法正确的是( )
A. 当，时，函数在定义域上仅有一个零点
B. 当，时，函数在上单调递增
C. 若函数存在极值点，则
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数在上单调，则实数的取值范围为______．
13.若是定义在上的奇函数，，，则 ______．
14.若过点作曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数为奇函数．
求实数的值；
若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知三棱锥，在平面上的射影为的重心，，．
证明：；
为上靠近的三等分点，若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．
17.本小题分
某小区有名居民，想通过验血的方法筛选乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占为减轻工作量，随机地按人一组分组，然后将各组个人的血样混合在一起化验若混合血样呈阴性，说明这个人全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．
若，，试估算该小区化验的总次数；
若，且每人单独化验一次花费元，人混合化验一次花费元，求当为何值时，每个居民化验的平均费用最少．
注：假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立当时，．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，且设动点形成的轨迹为曲线．
求曲线的标准方程；
过点的直线与曲线交于，两点，试判断是否存在直线，使得，，，四点共圆若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
19.本小题分
在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：其中表示的次导数，，以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式当时泰勒展开式也称为麦克劳林公式比如在处的麦克劳林公式为：，
由此当时，可以非常容易得到不等式
请利用上述公式和所学知识完成下列问题：
写出在处的泰勒展开式；
若，恒成立，求的范围；参考数据
估计的近似值精确到
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为是奇函数，所以，
即，
所以，故，则，
当时，显然不成立；经验证符合题意；
所以；
由，，
当时，，故在上单调递减，
故，
因为在区间上没有零点，所以或，
所以．
16.解：证明：如图所示，连结并延长交于，
因为为的重心，
所以是的中点，
又因为，所以，
因为在平面上的射影为，所以平面，
又平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
由知，面，过作轴平行于，则轴垂直于面，
如图以，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，
在中，，，由知，，故，
，
所以三棱锥的体积为，则，
因为为的重心，故，
则，，，，，
，
因为为上靠近的三等分点，
所以，
故，
设为平面的一个法向量，
则，则，取，则，，
故，
易得是平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，则为钝角，
所以，
所以二面角的余弦值为．
17.解：设每组需要检验的次数为，若混合血样为阴性，则，若混合血样呈阳性，则，
所以，，
所以
，
所以一共有组，
故估计该小区化验的总次数是；
设每组人总费用为元，若混合血样呈阴性，则，
若混合血样呈阳性，则，
所以，，
所以，
所以每位居民的化验费用为
元，
当且仅当，即时取等号，
故时，每个居民化验的平均费用最少．
18.解：设，则，，，
因为，所以，
所以，，所以，，
又，整理得，
即曲线的标准方程为；
易知当的斜率不存在时，直线与曲线没有两个交点，所以直线的斜率存在，
设：，将直线与曲线联立，得，
消去，整理得，
设，，
则，，
所以的中点，
且，
将，代入上式，
整理得，
当时，线段的中垂线方程为：，
令，解得，即与轴的交点坐标为，
当时，线段的中垂线为轴，与轴交于原点，符合点坐标，
因为的中垂线为轴，所以若，，，共圆，则圆心为，
所以，
所以，
整理得，即，
由直线和双曲线有两个交点，可得且，
所以且，
所以上述方程无解，即不存在直线符合题意．
19.解：在处的泰勒展开式为：
，
因为，
由在处的泰勒展开式，先证，
令，
，易知，所以在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以，
再令，，易得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
而，所以 恒成立，
当时，，所以成立，
当时，令，，易求得，
所以必存在一个区间，使得在上单调递减，
所以时，，不符合题意．
综上所述，，即实数的取值范围为；
因为，转化研究的结构，
，
，
两式相减得，
取，得，
所以估计的近似值为．
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