2024-2025学年北京市西城区铁路二中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年北京市西城区铁路二中高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域为( )
A. B.
C. D. ，
3.已知角的终边经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.等差数列的首项为，公差不为若，，成等比数列，则前项的和为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则“”是“函数在区间上存在零点”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数是上的增函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知正实数，满足不等式，则函数的图象可能为( )
A. B. C. D.
10.关于函数，有下述四个结论：
是偶函数
在区间单调递增
在有个零点
的最大值为
其中所有正确结论的编号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.设是虚数单位，复数是纯虚数，则实数 ______．
12.已知，，则 ______．
13.已知展开式中的系数为，则实数的值为______．
14.数列的前项和记为，若，，则数列的通项公式为 ______，若，则数列的前项和为______．
15.一辆赛车在一个周长为的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图反应了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．
根据图，有以下四个说法：
在这第二圈的到之间，赛车速度逐渐增加；
在整个跑道上，最长的直线路程不超过；
大约在这第二圈的到之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶；
在图的四条曲线注：为初始记录数据位置中，曲线最能符合赛车的运动轨迹．
其中，所有正确说法的序号是______．
16.已知函数，给出下列四个结论：
若，则函数至少有一个零点；
存在实数，，使得函数无零点；
若，则不存在实数，使得函数有三个零点；
对任意实数，总存在实数使得函数有两个零点．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，，
求的值；
若，求的面积．
18.本小题分
已知函数再从条件、条件、条件这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知．
Ⅰ求的解析式及最小值；
Ⅱ若函数在区间上有且仅有个零点，求的取值范围．
条件：函数的最小正周期为；
条件：函数的图象经过点；
条件：函数的最大值为．
19.本小题分
为研究某地区届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区届大学毕业生中随机选取了人作为样本进行调查，结果如下：
毕业去向 继续学习深造 单位就业 自主创业 自由职业 慢就业
人数
假设该地区届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．
Ⅰ若该地区一所高校届大学毕业生的人数为，试根据样本估计该校届大学毕业生选择“单位就业”的人数；
Ⅱ从该地区届大学毕业生中随机选取人，记随机变量为这人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求的分布列和数学期望；
Ⅲ该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的人选择了如表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为当为何值时，最小．结论不要求证明
20.本小题分
已知函数，其中．
Ⅰ求的单调区间；
Ⅱ若在上的最大值是，求的值．
21.本小题分
已知函数．
Ⅰ求在点处的切线方程；
Ⅱ判断的零点个数，并说明理由；
Ⅲ证明：函数的图象在直线的下方．
22.本小题分
设为正实数，若各项均为正数的数列满足：，都有则称数列为
数列．
Ⅰ判断以下两个数列是否为数列：
数列：，，，，；
数列：，，，．
Ⅱ若数列满足且，是否存在正实数，使得数列是数列？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
Ⅲ若各项均为整数的数列是数列，且的前项和为，求的最小值及取得最小值时的所有可能取值．
参考答案
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14.，
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16.
17.解：，，
由正弦定理可得；
，则，
，
，又由可得，
，
．
18.解：Ⅰ由题可知，
，
选择：
因为，所以，
又因为，所以，
所以，
当，
即时，，
所以函数的最小值为；
选择：
因为，所以，
又因为函数的最大值为，
所以，
所以，
当，即时，
，
所以函数的最小值为；
选择：
因为，所以，
因为函数的最大值为，所以，
的取值不可能有两个，无法求出解析式，舍去；
Ⅱ选择：
令，
则，
所以，
当，时，函数的零点为，
由于函数在区间上有且仅有个零点，
所以，
所以的取值范围是；
选择：
令，
则，或，
所以，或，
当时，函数的零点分别为，
由于函数在区间上有且仅有个零点，
所以，
所以的取值范围是．
19.解：由题意得，该校届大学毕业生选择“单位就业”的人数为．
由题意得，样本中名毕业生选择“继续学习深造”的频率为．
用频率估计概率，从该地区届大学毕业生中随机选取名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为．
随机变量的所有可能取值为，，，．
所以，
，
，
，
所以的分布列为：


．
易知五种毕业去向的人数的平均数为，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以．
20.解：由题意可得函数的定义域为，
由求导公式可得：，，
当时，，在单调递增；
当时，令，可解得，即在单调递增，
同理由，可解得，即在单调递减．
由可知：若时，在单调递增，
故函数在处取到最大值，解得，与矛盾应舍去；
若，即，函数在单调递增，在单调递减．
函数在处取到最大值 ，解得
故若，即时，在单调递增，
故函数在处取到最大值，解得，应舍去．
综上可得所求的值为：
21.解：Ⅰ由，得，
所以，又，
所以在点处的切线方程为，即；
Ⅱ，令，所以，
当，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，
即对恒成立，所以在单调递减，
又，
所以的零点个数为个；
Ⅲ证明：要证函数的图象在直线的下方，
即证，即证，即证，
又，所以即证，即证，
令，求导得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，所以，
要证，可证，即证即可，
令，求导可得，
当时，，所以函数在上单调递增，
所以，即，
所以在上恒成立，
所以函数的图象在直线的下方．
22.解：Ⅰ根据定义，数列应满足，，
即恒成立，
对于数列：有，，，，
均满足，数列是数列；
对于数列：，不满足，数列不是数列；
Ⅱ不存在正实数，使得数列是数列．
理由如下：
假设存在正实数，使得数列是数列，
则，都有，恒成立，
，
，
当时，，这与假设矛盾，
不存在正实数，使得数列是数列；
Ⅲ数列是数列，，
，
，，，，，
，
，
，，
，
数列是正整数数列，的最小值不小于，
假设，必有，解得，
，可取，，，，
当时，，存在满足条件的数列，
，，，，，，，，，
当时，，存在满足条件的数列，
，，，，，，，，，，
当时，，存在满足条件的数列，
，，，，，，，，，，，
当时，，存在满足条件的数列，
，，，，，，，，，，，，
以上都是的充分条件，
的最小值为，
此时的所有可能取值为，，，．
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