2024-2025学年北京市海淀区育英学校高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年北京市海淀区育英学校高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面上，复数所对应的点在第二象限，则实数的值可以为( )
A. B. C. D.
3.( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是( )
A. B. C. D.
5.已知平面向量，满足，且，，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的部分图象如图所示，则的值是( )
A.
B.
C.
D.
7.设，，，则( )
A. B. C. D.
8.在中，，则“”是“是钝角三角形”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.分贝、奈培均可用来量化声音的响度，其定义式分别为，，其中
为待测值，为基准值如果，那么参考数据：
A. B. C. D.
10.已知点集，，，设非空点集，若对中任意一点，在中存在一点与不重合，使得线段上除了点，外没有中的点，则中的元素个数最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域为______．
12.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称若，则的最大值为______．
13.已知平面内四个不同的点，，，满足，则 ______．
14.已知函数其中．
Ⅰ当时，函数的单调递增区间为______；
Ⅱ若函数的值域为，存在实数，则的取值范围为______．
15.已知函数的部分图象如图所示，，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于点，点为该部分图象与轴的交点将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图所示，此时，则 ．
给出下列四个结论：
；
图中，；
图中，过线段的中点且与垂直的平面与轴交于点；
图中，是及其内部的点构成的集合设集合，则表示的区域的面积大于．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，．
Ⅰ求；
Ⅱ再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．
条件：；
条件：；
条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第Ⅱ问得分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．
17.本小题分
已知函数，．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ求函数在上的最大值；
Ⅲ求证：存在唯一的，使得
18.本小题分
已知函数
Ⅰ求的单调递减区间；
Ⅱ设当时，的取值范围为，求的最大值．
19.本小题分
已知数列的前项和满足，
Ⅰ如果，求数列的通项公式；
Ⅱ如果，求证：数列为等比数列，并求；
Ⅲ如果数列为递增数列，求的取值范围．
20.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ若在区间上恒成立，求的取值范围；
Ⅲ试比较与的大小，并说明理由．
21.本小题分
给定整数，数列：，，，每项均为整数，在中去掉一项，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为将，，，中的最小值称为数列的特征值．
Ⅰ已知数列：，，，，，写出，，的值及的特征值；
Ⅱ若，当，其中，且时，判断与的大小关系，并说明理由；
Ⅲ已知数列的特征值为，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.且
12.
13.
14.
15.
16.Ⅰ解：因为，
所以由余弦定理得：，
又因为，所以；
Ⅱ解：由知，
若选：且，由，可得，
由正弦定理：，可得，解得，则，
又由余弦定理，可得，
所以，解得或舍去，
所以的面积为；
若选：，由，可得，
因为，可得，
由正弦定理，可得，解得，
所以的面积为；
若选：且，因为，
所以，整理得，
解得，不符合题意，舍去．
17.解：Ⅰ由，得，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为：，
即：；
Ⅱ令，得，
当变化时，变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
因为，，
所以函数在区间上的最大值为；
Ⅲ证明：设，
则，
令，得．
当变化时，变化情况如下表：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
则的增区间为，，减区间为，
又，，所以函数在没有零点，
又，
所以函数在上有唯一零点，
综上，在上存在唯一的，使得
18.解：Ⅰ函数的单调递减区间满足的条件为：，，
解得：，，
所以的单调递减区间为；
Ⅱ由题意可得：
，
由时，可得，
由的取值范围为，可得，
所以，
解得，
所以的最大值为
19.解：Ⅰ时，，
当时，，
当时，，
所以 分
Ⅱ证明：当时，，
，
相减得．
所以
又因为，，
所以数列为等比数列，
所以， 分
Ⅲ由Ⅰ可知，显然
当时，则，得．
当时，，
，
相减得，
即
因为，所以．
所以为等比数列．
所以．
因为数列为递增数列，
所以或 ，
所以的取值范围是或 分
20.解：Ⅰ当时，，函数定义域为，
可得，
此时，
又，
所以曲线在点处切线的方程为，
即；
Ⅱ若在区间上恒成立，
此时在区间上恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，
所以，单调递减，
此时，符合题意；
当时，
不妨设，
易知在方程中，，
若，即时，，
所以，单调递减，
则，符合题意，
若，即时，
函数是开口向下的二次函数，对称轴，
又，
此时方程的大于的根为，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减，
所以，不符合题意，
综上，满足条件的实数的取值范围为；
Ⅲ由Ⅱ知，当时，在区间上恒成立，
此时在区间上恒成立，
当时，，
整理得．
21.解：Ⅰ由题意，可知：
，，
；
，
的特征值为．
Ⅱ由题意，，故可分下列两种情况讨论：
当，且时，则
根据定义可知：．
同理可得：．
即
当，且时，
根据定义可知：．
同理可得：．
即
综合，可得：
Ⅲ由题意，不妨设，则
很显然，．
，
当且仅当时等号成立；
，
当且仅当时等号成立；
由Ⅱ可知：，中的较小值为．
．
当且仅当时等号成立，此时数列为常数列，其特征值为，不符合题意，
则必有．
下证：，，总有．
证明：
．
．
．
当时，可能取到最小值，符合题意．
的最小值为．
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