2024-2025学年安徽省阜阳市临泉县田家炳实验中学高三（上）联考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年安徽省临泉县田家炳实验中学高三（上）联考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数满足，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3.已知，，是空间直角坐标系中轴、轴、轴正方向上的单位向量，且，，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
4.下列命题中，正确的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，，则
5.一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，逐层每边增加一个花盆，若第层与第层花盆总数分别为和，则与的关系为( )
A. B.
C. D.
6.下列说法中不正确的是( )
A. 已知命题：“存在，；命题：“中，若，则，则为真命题
B. 存在无数个，，使得等式成立
C. 命题“在中，若，则”的逆否命题是真命题
D. 设，则是直线：与直线：垂直的充分必要条件
7.如图，在中，，，与交于点，过点作直线，分别交，于点，，若，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.年月日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为，月球质量为，地月距离为，点到月球的距离为，根据牛顿运动定律和万有引力定律，满足方程：设，由于的值很小，因此在近似计算中，则的近似值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设是复数，则下列说法正确的有( )
A. 若，则是实数 B. 若是虚数，则
C. 若，则是虚数 D. 若是纯虚数，则
10.已知，则下列等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
11.已知各项均为正数的数列的前项之积为，且，则( )
A. 当时，
B. 当时，
C. 无论取何值，均存在使得对任意成立
D. 无论取何值，数列中均存在与的数值相同的另一项
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且，则的最大值为______．
13.若函数在上为增函数，实数的取值范围是______．
14.三角形的边在平面内，在平面外，和分别与面成和的角，且平面与平面成的二面角，那么的大小为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的最小值为，且．
求实数的值；
求函数的最大值，并求此时的取值集合．
16.本小题分
已知点，，动点满足直线与直线的斜率之积为记动点的轨迹为曲线．
Ⅰ求曲线的方程；
Ⅱ设经过点且不经过点的直线与曲线相交于，两点，求证：为定值．
17.本小题分
人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策．某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品月至月的销售量如表：
月份
销售量万件
该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了关于的回归模型：．
根据所给数据与回归模型，求关于的回归方程的值精确到；
已知该公司的月利润单位：万元与，的关系为，根据的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？
参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
18.本小题分
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于的产品为优质品，现用两种新配方分别称为配方和配方做试验，各生产了件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
配方的频数分布表
指标值分组
频数
配方的频数分布表
指标值分组
频数
Ⅰ分别估计用配方，配方生产的产品的优质品率；
Ⅱ已知用配方生成的一件产品的利润单位：元与其质量指标值的关系式为
从用配方生产的产品中任取一件，其利润记为单位：元，求的分布列及数学期望以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率
19.本小题分
已知函数，．
当时，证明：；
现定义：阶阶乘数列满足，若证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：根据题意：函数，
令，，
则，
当时，即，
，所以无解．
当时，即，
，即，
所以或舍去，
当时，即时，
，所以，舍去，
综上所述：．
当时，，
当时，即时，函数的最大值为．
即当取值集合为时，函数的最大值为．
16.Ⅰ解：由斜率公式求得直线，的斜率分别为，
所以，化简可得，
所以曲线的方程为；
Ⅱ证明：当直线的斜率不存在时，，
将代入，可得，
则，
所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立方程组，消去可得，，
设，，
所以，，
因为，
则
，
因为直线经过点，
所以，即，
所以．
综上所述，为定值．
17.解：令，
则，，
，，
故关于的回归方程为．
由可知，，
，
令，
则，
令，解得，令，解得，令，解得，
故在处取得极大值，也为最大值，
故，
故第个月的月利润预报值最大．
18.解：Ⅰ由试验结果知，用配方生产的产品中优质的频率为
用配方生产的产品的优质品率的估计值为．
由试验结果知，用配方生产的产品中优质品的频率为
用配方生产的产品的优质品率的估计值为；
Ⅱ用配方生产的件产品中，其质量指标值落入区间
，，的频率分别为，，，
，，，
即的分布列为
的数学期望值
19.证明：令函数，
要证明时，，
即证明，
又因为，，
，，
所以，
所以当时，单调递减，
所以，故原不等式成立；
将左右同除以，
即，
即，
由累加法，得，
，
由知，，
即，
所以，
所以，
所以，
当时也满足，所以，
所以，
下面证明，
令数列，
，
因为
，
因为，故只需判断的符号，
令，
则，，
令，
则一，
当时，，
所以单调递增，
所以，
所以，即，
故数列单调递增，
所以，
故原不等式成立．
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