2024-2025学年上海市黄浦区敬业中学高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年上海市黄浦区敬业中学高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知、，若，则( )
A. B. C. D.
2.关于直线，及平面，，下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
3.“”是“”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数的定义域为，值域为，函数具有下列性质：
若，，则；若，，则下列结论正确的是( )
存在，使得；
对任意，都有；
A. 都正确 B. 正确、不正确
C. 正确、不正确 D. 都不正确
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.若集合，则 ______．
6.若复数满足为虚数单位，则______．
7.已知圆：与直线相切，则圆的半径______．
8.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：的右焦点重合，则抛物线的方程是______．
9.在二项式的展开式中，的一次项系数为______用数字作答
10.已知一个圆柱的高为，底面半径为，则它的侧面积的大小为______．
11.若为第四象限角，且，则的值是______．
12.函数的单调递增区间为______．
13.如图，在中，若，，，则______．
14.若甲、乙两人从门课程中各选修门，则甲、乙所选修的课程中至少有门相同的选法种数为______．
15.设，函数，，若函数与的图像有且仅有一个公共点，则的取值范围是______．
16.已知，若存在定义域为的函数满足下列两个条件：
对任意，，关于的方程无实数解，
则取值范围为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，已知，．
若，求的面积；
若，求．
19.本小题分
已知椭圆：，离心率为，左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于、两点，且的周长为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ若，求的面积．
20.本小题分
已知函数，其中是常数．
若，判断函数的奇偶性，并说明理由；
若，且函数在严格单调减，求实数的最大值；
若，且不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
若函数，的导函数，是以为周期的函数，则称函数，具有“性质”．
试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由；
已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点；
若函数，具有“性质”，且存在实数使得对任意都有成立，求证：，为周期函数．
可用结论：若函数，的导函数满足，，则常数
参考答案
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17.证明：由已知得．
取的中点，连接，．
由为的中点知，．
又，故，，所以四边形为平行四边形，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
解：取的中点，连接由得，从而，且以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意知，，，，，
，，，
设为平面的法向量，
则即可取．
于是直线与平面所成角的正弦值为．

18.解：，
，
；
，由正弦定理可得，
，，
，可能为锐角可能为钝角，为锐角，
，
当为锐角，，
，
当为钝角，，
，
或．
19.
解：Ⅰ由题得：，，，．
又，
椭圆的方程为；
Ⅱ设直线的方程为，联立，
得．
设、的坐标分别为，，
则，
，
联立解得：．
．

20.解：当时，是奇函数，
当且时，，
，且，此时是非奇非偶函数．
因为，且函数在严格单调减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，上恒成立，
，二次函数开口向上，对称轴，
只需，即，
综上，，
因此的最大值为．
，因此，，
易得是奇函数，当时，，
令，可得，令，可得或，
故在单调递减，在单调递增，在单调递减，
因为，，
当时，，且，
当时，，且，
此时的值域为，所以，
又因为，
因此不等式，
由于最小值为，
所以，解得，
故的范围为
21.解：不具有“性质”，
理由是：，，即；
具有“性质”，
理由是：，．
法一：，则，
由可得，对恒成立．
令，得 ；令，得 ．
得，，因此，从而恒成立，
，即有，且，由得，
，当时，令可得，列表如下：
极大值 极小值
函数在的极小值点为．
法二：，
由，可得，
所以，
即，
所以，所以且，所以且且．
由得，所以，当时，令可得，列表如下：
极大值 极小值
函数在的极小值点为．
证明：令，
，具有“”性质，
，
为常数，
法一：
若，是以为周期的周期函数；
若，由，
当时，，这与矛盾，舍去；
若，由，
当时，，这与矛盾，舍去．
综上，，所以是周期函数．
法二：
当时，，所以是周期函数．
当时，不妨令，记，其中表示不大于的最大整数．同理可证，
若存在，这．
这与矛盾．
若存在，这．
这与矛盾．
若不存在，使得或，则，，此时，与矛盾，故舍去．
综上，，，所以是周期函数．
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