2024-2025学年江苏省南通市如皋中学高三（上）调研数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年江苏省南通市如皋中学高三（上）调研数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. ， B. C. D.
2.已知椭圆：，则“”是“椭圆的离心率为”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知一组数据，，，，的下四分位数是，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
4.已知，若，，则( )
A. B. C. D.
5.不透明盒子中装有除颜色外完全相同的个红球、个白球，现从盒子里随机取个球记事件：至少一个红球，事件：一个红球一个白球，则下列说法正确的是( )
A. B. C. 与互斥 D. 与独立
6.已知函数图象如图所示，则的图象是( )
A. B.
C. D.
7.已知三棱锥满足，，，且其表面积为，若点正投影在内部到，，的距离相等，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.若，则( )
A. B. C. D. 无法确定
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据，，，，，，则特征量为的是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 极差
10.已知随机事件，，则( )
A.
B. 若，则，独立
C. 若，则，互斥
D. 若，则
11.已知函数的定义域为，若满足，且函数图像关于中心对称，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在处的切线方程为______．
13.双曲线：的两焦点分别为，，焦距为，为双曲线上一点，且满足，，则双曲线的离心率为______．
14.已知数据，，，的均值为，方差为数据，，，的均值为，方差为则数据，，，，，，的方差为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
黑神话：悟空是由游戏科学公司制作的动作角色扮演游戏，为了调查玩家喜欢该款游戏是否与性别有关，特选取了名玩家进行了问卷调查，得到如下的列联表．
男性 女性 合计
喜欢
不喜欢
合计
在名玩家中随机抽取人，若抽到不喜欢该游戏的概率为．
依据小概率值的独立性检验，分析男、女玩家对该款游戏的喜爱是否有差异？
从喜欢该游戏的玩家中用分层抽样的方法抽取名玩家，再在这名玩家中抽取人调查其喜欢的游戏，用表示人中女生的人数，求的分布及数学期望．
16.本小题分
在四棱锥中，已知是正三角形，底面为矩形，且平面平面若．
证明：面；
求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
若时，求的最小值；
若恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知椭圆：的离心率为，点在上．
求的方程；
设的右顶点为，点，是椭圆上的两点异于顶点，若直线，与轴交于点，，若，求证：直线恒过定点．
19.本小题分
甲、乙、丙参加某竞技比赛，甲轮流与乙和丙共竞技场，每场比赛均能分出胜负，各场比赛互不影响．
假设乙的技术比丙高，如果甲轮流与乙和丙竞技场，甲只要连胜两局即可获胜，甲认为：先选择与实力弱的丙比赛有优势，判断甲猜测的正确性；
假设乙与丙的技术相当，且甲与乙，甲与丙竞技甲获胜的概率都是，设为甲未获得连续次胜利的概率．
求，；
证明：．
参考答案
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15.解：由题意不喜欢该游戏的人数为，
从而可得列联表：
男性 女性 合计
喜欢
不喜欢
合计
零假设：男、女玩家对该款游戏的喜爱没有差异，
根据列联表中数据可求得：，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为玩家得性别对该款游戏的喜爱有差异；
若从喜欢该游戏的玩家中用分层抽样的方法抽取名玩家，其中男性有人，女性有人，
若从抽取名玩家中抽取人调查，
设所抽取的女性玩家的人数为，则的可能取值为，，，
因为，，，
则的分布列为：
则．
16.证明：由为矩形，可得，
又平面平面，平面平面，
平面，
所以面；
解：因为是正三角形，为矩形，
平面平面，取中点，中点，
连接，，则，，两两垂直，
以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，
则，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则有，令，可得，，
故平面的一个法向量为，
不妨取平面的一个法向量为，
则，
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
17.解：当时，，
，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以．
不等式等价于，
等价于，令，可得，
，
时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以，
所以，即的取值范围是．
18.解：根据题意可得，解得，
椭圆的方程为；
证明：如图，设，不妨设在左侧，
则，，，
，，
将椭圆平移至，即，
此时平移至，，分别平移至，
设方程为，
则，，
，是关于的方程的两不等实根，
，
直线的方程为，
恒过定点，
恒过定点．
19.解：设甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，
因为乙的技术比丙高，所以，
若甲与丙比赛，则甲获胜的概率为：；
若甲先与乙比赛，则甲获胜的概率为：；
显然，
所以甲应先与乙比赛有优势，即甲猜测错误．
，；
证明：考察，分为情形一：第局甲输；
情形二：第局甲赢，局甲输；
情形三：第局甲赢，局甲赢，局甲输；
由题意分为三种情形如下：
情形一、第场输了，则前场甲未获得连续次胜利，此时概率为；
情形二、第场赢了，第场输了，则前场甲未获得连续次胜利，此时概率为；
情形三、第场赢了，第场赢了，第场输了，则前场甲未获得连续次胜利，此时概率为；
由全概率公式得；
因此；；
得：，
又因为，所以当，时，．
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