2024-2025学年重庆市名校方案联盟高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年重庆市名校方案联盟高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
3.若函数在区间其中上存在零点，则常数的取值范围( )
A. B. C. D.
4.已知，，，比较，，的大小为( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.在中，为中点，，，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知复数，和满足，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数及其导函数的定义域均为，若，的图象关于直线对称，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.“”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线如图所示的曲线过坐标原点，上的点到两定点，的距离之积为定值则下列说法正确的是参考数据：
A. 若，则的方程为
B. 若上的点到两定点、的距离之积为，则点在上
C. 若，点在上，则
D. 当时，上第一象限内的点满足的面积为，则
10.表示大于或者等于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数设为的单调递增数列，且满足，则下列选项正确的是( )
A. B. 至多有种取值可能
C. D.
11.随机事件，满足，，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知和的图像的连续三个交点，，构成，则的面积为______．
13.已知非零向量满足，则与的夹角为______．
14.函数是数学中重要的概念之一，年，德国数学家莱布尼茨首次使用这个词，年瑞士数学家欧拉首次使用符号表示函数年我国清代数学家李善兰将译作函数，“函”意味着信件，巧妙地揭示了对应关系密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数对自变量恰当地赋值是处理函数问题，尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一已知对任意的整数，均有，且，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，．
求；
当的面积为，，求的值．
16.本小题分
某地区有小学生人，初中生人，高中生人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取名学生，对其成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；
成绩位列前的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；
已知落在内的平均成绩为，方差是，落在内的平均成绩是，方差是，求落在内的平均成绩和方差．
附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差
17.本小题分
已知椭圆的右焦点为，离心率为，直线经过点，且与相交于，两点，记的倾斜角为．
求的方程；
求弦的长用表示；
若直线也经过点，且倾斜角比的倾斜角大，求四边形面积的最小值．
18.本小题分
已知函数，．
求曲线在处的切线方程；
若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
若有三个零点，，，且，求证：．
19.本小题分
若，是函数在内的两个零点，则定义的型零点旋转函数为，且将函数在内所有的零点从小到大排列后，记第个零点为，集合．
请用列举法写出．
设函数是的型零点旋转函数，函数，，．
讨论的零点个数；
若有两个零点，，证明：．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由正弦定理及得，，
因为，所以，即，
又，所以，所以，
所以．
因为，所以，
由，得，
代入，有，解得，
所以，
由余弦定理得，，
所以．
16.解：一至六组的频率分别为，，，，，，
所以平均数估计为：，
由图可知，众数为，
以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为分，众数为分；
前组的频率之和为，
前组的频率之和为，
所以第分位数落在第组，设为，
则，
解得，
所以“防溺水达人”的成绩至少为分；
的频率为，的频率为，
所以的频率与的频率之比为，
的频率与的频率之比为，
设内的平均成绩和方差分别为，，
依题意有，解得，
，解得，
所以内的平均成绩为，方差为．
17.解：由题知，又，得到，所以，
故椭圆的方程为．
设，，因为直线经过点，且倾斜角为，
当，设直线的方程为，其中，
由，消得到，
又，
所以，
即；
当时，直线：，由，解得，，此时．
综上，当时，；当时，．
直线也经过点，且倾斜角比的倾斜角大，所以
当时，，，
此时四边形面积为；
当时，易知，，
此时四边形面积为；
当时，可设：，其中，
同理可得，
当且时，四边形面积为，
又，
代入化简得到，
即，
令，
令，则，
所以，对称轴，又，则
当，即时，，此时，
所以四边形面积的最小值为，
又，所以四边形面积的最小值．

18.解：依题意，，则，
又，
则曲线在处的切线方程为；
当时，等价于，
设，则，，
(ⅰ)当时，令，得，．
由和得，
故当时，，在单调递减，因此；
(ⅱ)当，时，，
故，在上单调递增，因此；
综上，的取值范围是．
证明：由等价于，
令注意到，，依题意，除了之外，还有两个零点，
又由，
令，
当时，由题意，首先在上有两个零点，
故，解得，
设两个零点为和，有，，故可知，均大于，
由此可得在单调递增，单调递减，单调递增，
而，即，，，
又因为，，
故在内恰有一个零点，在内恰有一个零点，
又为的一个零点，所以恰有个零点，亦即恰有个零点；
当时，恒成立，
故这时在单调递减，不合题意：
故实数的取值范围是．
，
由，
由此可得，
要想证明，
只需证明，
而，
因此只需要证明当时，，
令，，
可得，
故在上单调递增，
因此当时，，即当时，，
因此，
由，有，即，
两边同时除以，由，有，
即．
19.解：因为，
令，得或，又，
所以当时，函数的零点有，，；
当时，的零点有；
所以；
由知，，则，
得，令，
由，得，即，
令，则，
即，，
当即时，有个零点；
当即时，方程的解为，
若且，即，有个零点；
若，有个零点；
若，即，无零点；
当即时，无零点；
综上，当或时，无零点；
当或时，有个零点；
当时，有个零点．
证明：若有个零点，，则，是方程的两个根，
由韦达定理得，，
又，，所以，
而，故，
因为在上单调递减，所以，
故，即证．
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