2024-2025学年湖北省腾云联盟高三（上）联考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年湖北省腾云联盟高三（上）联考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则复平面内表示的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.函数在区间上是递减的，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.函数图像的一条对称轴为，则( )
A. B. C. D.
5.四边形是边长为的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是( )
A. B. C. D.
6.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.已知圆：，点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为和，以为直径作圆，则圆的面积的最小值为( )
A. B. C. D.
8.不等式，其中，，是非负整数，则使不等式成立的三元数组有多少组( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知互不相同的个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的个样本数据的方差为，平均数；去掉的两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则( )
A.
B.
C. 剩下个数据的中位数大于原样本数据的中位数
D. 剩下个数据的分位数不等于原样本数据的分位数
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为 B. 的值域为
C. 关于对称 D. 在上单调递减
11.已知定义域为函数和，且是奇函数，对任意满足，且，，下列说法正确的( )
A.
B. 或
C. 在上单调递增，在单调递减
D. 时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为______．
13.设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为______．
14.有一直角转弯的走廊墙面与顶部都封闭，已知走廊的宽度与高度都是米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，若不计硬管粗细，则可通过的最大极限长度为______米
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动．
当时，求点的位置；
在的条件下，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
16.本小题分
已知函数，其中为自然对数的底数．
讨论的单调区间；
若，设函数，当不等式在上恒成立时，求实数的取值范围．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，，且．
求角的值；
若为锐角三角形，中点为且，求的取值范围．
18.本小题分
已知椭圆：的长轴是短轴的倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为，，是椭圆左右顶点，过，做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点，在的左侧，并过，两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于．
求椭圆的标准方程．
若，直线与的斜率分别为与，求的值．
求证：．
19.本小题分
如图：一张的棋盘，横行编号，，：竖排编号，，一颗棋子目前位于棋盘的处，它的移动规则是：每次移动到与自身所在格不相邻的异色格中例如该棋子第一次移动可以从移动到或棋子每次移动到不同目的地间的概率均为．
列举两次移动后，该棋子所有可能的位置．
假设棋子两次移动后，最终停留到第，，行时，分别能获得，，分，设得分为，求的分布列和数学期望．
现在于棋盘左下角处加入一颗棋子，他们运动规则相同，并且每次移动同时行动移动次后，两棋子位于同一格的概率为，求的通项公式．
参考答案
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15.解：，，
，，又，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
如图：，
设．
则，
，，解得，．
当时，点为的中点．分
由，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
易知平面的一个法向量为，
，
平面与平面所成二面角的余弦值为分
16.解：易知函数的定义域为．
所以，
当时，由，得，由，得．
所以的单调增区间为，单调减区间为；
当时，由，得，由，得．
所以的单调增区间为，单调减区间为．
将代入，得，
因为，不等式在上恒成立，
所以，即在上恒成立，
令，易知函数的定义域为．
所以．
当时，，故；
当时，，故．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以时，在上取得最大值．
所以，
所以实数的取值范围是．
17.解：因为，且，
所以，
由正弦定理可得，
即，
由余弦定理可得：，
又因为，
可得；
因为，
由余弦定理可得，
因为，所以，
由正弦定理可得：，
可得，，
所以
，
在为锐角三角形中，，
解得，
所以，所以，
所以，
所以，
所以，
所以
18.解：由题意：，解得，
所以椭圆的标准方程为：．
设过点的切线方程为：，即，
联立，消去并整理得：，
由，
整理得：，所以．
证明：设，的延长线交轴于点，如图：
、两点处切线斜率分别为，，则，
设点的椭圆的切线方程为：，
联立，消去并化简整理得：，
由得，，
化简整理得：，
由韦达定理得：，，
所以，，
所以要证明，只需证明，
即
，
因为，所以上式成立，
即成立．
19.解：两次移动的所有路径可能如下：
；；；，
所以两次移动后，该棋子所有可能的位置有：，，．
棋子两次移动后，最终停由在时，得分，对应概率为：；
相子两次移动后，最终停留在时，得分，对应概率为：；
棋子两次移动后，最终停留在时，得分，对应概率为：，
所以．，
所以最终得分的分布列为：
所以．
将棋盘按如图所示编号：
将棋子可以去的区域用箭头连接起来，若从可以连接到或，记做；从可以连接或，
记做；然后将它们串联起来；依次类推，可以串联处环状回路：，
如下图所示：
则棋子等价于在这个环状回路中运动．
问题可以转化为将两个棋子放在环状回路中的号、号位置，每回合号、号棋子有四种运动模式：顺，顺，顺，逆，逆，顺，逆，逆，发生概率均为，
为了转化问题，现规定：“两棋子之间的最短节点数”，例如：
特别规定两棋子重合时，，并统计四种运动模式下会如何变化．
假设号棋子顺时针走过个节点可以与号棋子重合；或逆时针走过个节点也可以与之重合，为了简化问题，不妨假设，于是有下表：
顺，顺 顺，逆 逆，顺 逆，逆
设“回合后，的概率”，
“回合后，的概率”，
“回合后，的概率”，
则有
所以，
显然，，
所以，
所以．
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