2024-2025学年北京市海淀区首都师范大学附属中学高三上学期10月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年首都师范大学附属中学高三上学期10月月考
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.下列函数中，在区间上不是单调函数的是( )
A. B. C. D.
4.如图，角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.在中，，则( )
A. B. C. D.
7.已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.设无穷等比数列的前项和为，若，则( )
A. 为递减数列 B. 为递增数列
C. 数列有最大项 D. 数列有最小项
9.在中，，，点在线段上当取得最小值时，( )
A. B. C. D.
10.斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用斐波那契数列满足，给出下列四个结论：
存在，使得，，成等差数列；
存在，使得，，成等比数列；
存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列；
存在正整数，，，，且，使得．
其中所有正确的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域是 ．
12.已知向量，的夹角为，，，则 ．
13.已知函数的部分图象如图所示，将的
图象向右平移为的最小正周期个单位长度得到的图象，则 ．
14.已知公差不为的等差数列的前项和为，若，，，则的最小值为_________．
15.已知函数，其中且给出下列四个结论：
若，则函数的零点是；
若函数无最小值，则的取值范围为；
若，则在区间上单调递减，在区间上单调递增；
若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为，且的取值范围为．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知等差数列满足，且又数列中，且．
求数列，的通项公式；
若，则称或是，的公共项．
直接写出数列，的前个公共项；
从数列的前项中将数列与的公共项去掉后，求剩下所有项的和．
17.本小题分
已知函数，从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在．
条件：；
条件：函数在区间上是增函数；
条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
求的值；
求在区间上的最大值和最小值．
18.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
判断在定义域内是否为单调函数，并说明理由．
19.本小题分
如图，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点，，为增加景区人民的收入，景区管委会又开发了风景优美的景点经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向上，还位于景点的北偏西方向上，已知，．
景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；
求的正弦值．
20.本小题分
已知函数．
求在区间上的最大值和最小值；
若是函数的极值点．
(ⅰ)证明：；
(ⅱ)讨论在区间上的零点个数．
21.本小题分
已知集合的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合、、，即，，，，其中，，，且满足，，、、、，则称集合为“完美集合”．
若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由；
已知集合为“完美集合”，求正整数的值；
设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或．
参考答案
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16.设等差数列的公差为，则有，解得
因此；由，得，而，
则数列是以为首项，公比为的等比数列，，
所以数列，的通项公式分别为，．
由知，，，
则，，
所以数列，的前个公共项依次为．
，而，
因此数列的前项中是数列与的公共项的只有这项，
所以剩下所有项的和为．

17.解：由题意得：
．
当选条件：
，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以 时，即得： ，即 ．
当选条件：
从而得：当 时， 单调递增，
化简得：当 时， 单调递增，
又因为函数 在区间 上是增函数，
所以得： ，解之得： ，
且，
故：若选条件， 不存在．
当选条件：
由 ， ，
得当 时， ，又因为 ，
所以得 ，得 ．
由知： ，则得： ，
又因为 ，所以 ，
所以当 时， 有最大值 ；
所以当 时， 有最小值 ；
即在区间上的最大值是，最小值是．

18.由题意得：函数的定义域为，
，
，，
在点处的切线方程为：，
即；
函数在定义域内不是单调函数．理由如下：
，令，
，在上单调递减，
，，
存在，使得，
当时，，从而，所以函数在上单调递增，
当时，，从而，所以函数在上单调递减，
故函数在定义域内不是单调函数．

19.解：在中，，，，设，
则由余弦定理得，
即，解得．
，舍去，，
这条公路长为．
在中，，
，
．
在中，，
，．
．

20.，，令得到，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
又，，，
故在区间上的最大值为，最小值为；
，
，
，故，
设，函数单调递增，
，．
根据零点存在定理知；
，，，
设，，
当时，，故，单调递增，，故函数单调递减，，
故函数在上无零点；
当时，，
设，，
设，则，
当时，，当时，
故在单调递增，在上单调递减，
，，，
故存在使，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
，故，，故函数在上有个零点．
综上所述：在区间上的零点个数为．

21.将分为、、满足条件，则是完美集合．
将分成个，每个中有两个元素，则，，
中所有元素之和为，，而为整数，不符合要求，
故不是“完美集合”；
若集合，，根据完美集合的概念知集合；
若集合，，根据完美集合的概念知集合；
若集合，，根据完美集合的概念知集合．
故的可能值为、、中任一个；
证明：中所有元素之和为
，
因为，所以，，
所以，，
因为为正整数，则可以被整除，
所以，或，即或．
故集合为“完美集合”的一个必要条件是或．

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