2024-2025学年江苏省盐城市盐城中学等校高三上学期10月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年江苏省盐城中学等校高三上学期10月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B.
C. D.
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在中，，则( )
A. B. C. D.
5.在一个空旷的房间中大声讲话会产生回音，这种现象叫做“混响”用声强的大小来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为，则经过秒后这段声音的声强变为为常数把混响时间定义为声音的声强衰减到讲话之初的倍所需时间，则约为( ) 参考数据，
A. B. C. D.
6.( )
A. B. C. D.
7.已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有，若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，是的导函数，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的是( )
A. 在中，若，则必是等腰直角三角形
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 在中，若，
D. 在中，若，，则必是等边三角形
10.已知，，，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 若则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，内角的对边分别是若，则 ．
13.已知函数，为的导函数，在上单调递减，则正实数的取值范围为 ．
14.已知函数恰有两个零点和一个极大值点且成等比数列若的解集为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，对，有．
求的值及的单调递增区间；
若，，求．
16.本小题分
已知数列的前项和为，．
求数列的通项公式；
在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和．
17.本小题分
在中，，且边上的中线长为．
若，求的长；
若，求的长．
18.本小题分
设函数，．
已知对任意恒成立，求实数的取值范围；
已知直线与曲线，分别切于点，，其中．
求证：；
已知对任意恒成立，求的最大值．
19.本小题分
若数列的各项均为正数，且对任意的相邻三项，都满足，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项，都满足则称该数列为“凸数列”．
已知正项数列是一个“凸数列”，且，其中为自然常数，，证明：数列是一个“对数性凸数列”；
若关于的函数有三个零点，其中证明：数列是一个“对数性凸数列”；
设正项数列是一个“对数性凸数列”，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
因为对，有，可得当时，取得最值，
所以，，可得，，
又，所以，所以，
由，，可得，，
所以的单调递增区间为．
由，，，
可得，，所以，
所以
．
16.解：因为，
所以当时，，
又，所以．
当时，，
式减去式，得，
所以，
又，，
所以对，都有，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以．
依题设得，
所以，即，
则

式减去式，得

，
则 ．
故数列的前项和
17.解：因为，且边上的中线长为，
所以，
所以，
即，解得，
则，
所以
由题可知，，，，
设，，，则，
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
所以，则，
在和中，由余弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
即，即，
将代入得，
由得，即，
即，即，
因为，所以，则，所以．
故BC的长为．
18.解：由已知可得 ，其中 ，
设 ，其中 ，则 ，
当 时， ，即 在 上单调递增，
当 时， ，即 在 上单调递减，
所以， ；
令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，即函数 在 上单调递减，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，
所以， ，
综上所述，实数 的取值范围是 ．
证明：因为 ， ，则 ， ，
所以，直线 可表示为 ，即 ，
直线 的方程也可表示为 ，即 ，
故有 ，所以， ，
所以， ，即 ，
设 ，其中 ，则 ，
令 ，其中 ，
则 对任意的 恒成立，
所以，函数 在 上单调递增，
又因为 ， ，
所以，存在 ，使得 ，
当 时， ，即函数 在 上单调递减，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，
因为 ，则 ， ，所以，函数 在 上无零点，
因为 ，
所以，存在 ，使得 ，
所以 ，则 ；
由可知， ，当 时， ，
由 可得 ，
设 ，其中 ，
则 对任意的 恒成立，
所以，函数 在 上单调递增，
所以， ，
所以， ，解得 ，
故实数 的最大值为 ．

19.解：因为，所以，因为正项数列是一个“凸数列”，
所以，
所以，所以，
所以数列是一个“对数性凸数列”；
根据题意及三次函数的性质易知有两个不等实数根，
所以，
又，所以，
显然，即不是的零点，
又，
令，则也有三个零点，
即有三个零点，
令，
则有三个零点，
所以有两个零点，
所以同上有，
故数列，，，为一个“对数性凸数列”；
记则欲证不等式，
可化归为，即，
由数列为对数性凸数列知，即，
故
再由，
得
故式成立．从而，原不等式成立．
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