甘肃省陇南市礼县第一中学2024-2025学年高二第一次月考数学试卷（含解析）

礼县第一中学2024学年高二第一次月考
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 一组数据23，11，14，31，16，17，19，27的上四分位数是（ ）
A. 14 B. 15 C. 23 D. 25
3. 若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 若角满足，则（ ）
A. B. C. D.
5.直线关于对称的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为，，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
8. 在中，，，是的外心，则的最大值为（ ）
A. 2 B.
C. D. 4
二 多选题
9. 已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若A与B相互独立，则 B. 若，则事件A与相互独立
C. 若A与B互斥，则 D. 若B发生时A一定发生，则
10.已知圆：与圆：的一个交点为，动点的轨迹是曲线，则下列说法正确的是（ ）
A.曲线的方程为
B.曲线的方程为
C.过点且垂直于轴的直线与曲线相交所得弦长为
D.曲线上的点到直线的距离的最大值为
11. 已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点P满足，其中，，，则（ ）
A. 当P为底面的中心时，
B. 当时，长度的最小值为
C. 当时，长度的最大值为6
D. 当时，为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，两点到直线的距离相等，则__________．
13. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．
14.如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知平面内两点，．
（1）求过点且与直线垂直的直线的方程．
（2）若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程．
16. 甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为.
（1）求甲连续打四局比赛的概率；
（2）求在前四局中甲轮空两局的概率；
（3）求第四局甲轮空的概率.
17. 某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
（1）若根据这次成绩，年级准备淘汰60%的同学，仅留40%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？
（2）从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率．
（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的96和84两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．
18. 已知P(，)是椭圆C： (a>b>0)上一点，以点P及椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形面积为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过F2作斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，M是l1与C两交点的中点，N是l2与C两交点的中点，求△MNF2面积的最大值．
19.已知动直线与椭圆：交于，两点，且的面积，其中为坐标原点.
（1）证明：和均为定值；
（2）设线段的中点为，求的最大值；
（3）椭圆上是否存在三点D，E，G，，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由.
1.D
因为全集，，所以，
又因为，.
故选：D.
2.D
把数据按从小到大的顺序排列： 11，14， 16，17，19，23，27，31.
因为，上四分位数是.
故选：D
3.B
设圆锥的底面半径为r，
由于圆锥的轴截面是等边三角形，则该圆锥的高为，母线长为2r，
又轴截面面积为，故，
则该圆锥的表面积为，
故选：B
4.B
由，得，
即，则
所以
.
故选：B
5.C
取直线关于对称的直线上任意一点，易知点关于直线对称的点的坐标为，由点在直线上可知，即.故选C.
6.C
记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，
且.
恰好能答对两道题事件，且两两互斥，
所以
，
整理得，他三道题都答错为事件，
故.
故选：C.
7.B
在从左往右第一个图中，因为，所以，
因侧棱垂直于底面，所以面，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，
因为分别是所在棱的中点，所以
所以，，故，
即得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，
此时，所以，，
故，所以不垂直，
在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，
此时，
故，，即，所以不垂直，
则下列3个直观图中满足的有个，故B正确.
故选：B
8.B
设角所对的边分别为，，，
因为是的外心，记中点为，则有，即，
可得
，
在中，由正弦定理可得：，
则，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：B.
9.ABD
对于A，若A与B相互独立，则，
所以，故A对；
对于B，因，，则，
因为，所以事件与相互独立，故B对；
对于C，若A与B互斥，则，故C错；
对于D，若B发生时A一定发生，则，则，故D对．
故选：ABD
10.BCD
对A选项与B选项，由题意知圆与圆交于点，
则，，所以，
所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且，，即，，
所以，所以曲线的方程为，故A选项错误，B选项正确；
对C选项，通径的长度为，故C选项正确；
对D选项，设与直线平行的直线为，，
将与联立得，
令，解得，此时直线与椭圆相切，
当时，切点到直线的距离最大，
直线的方程为，此时两平行线的距离为，
故曲线上的点到直线的距离的最大值为，故D选项正确.故选BCD.
11.BCD
对于A，当为底面的中心时，由，则 故，故A错误；
对于B，当时，
当且仅当，取最小值为，故B正确;
对于C，当时，，则点在及内部，
而是以为球心，以为半径的球面被平面所截图形在四棱柱及内的部分，
当时，，当时，，可得最大值为，故C正确；
对于D，， ，
而，所以
，则为定值，故D正确.
故答案选：BCD.
12.1或2
由题意可得：，即，
可得或，解得或.
故答案为：1或2.
13.
由题意设三棱台为，如图，
上底面所在平面截球所得圆的半径是，为上底面截面圆的圆心
下底面所在平面截球所得圆的半径是，为下底面截面圆的圆心
由正三棱台的性质可知，其外接球的球心在直线上，
当在线段上时，轴截面中由几何知识可得，无解；
当在的延长线上时，可得，解得，
因此球的表面积是．
故答案为：
连接，，由点在以为直径的圆上，故.
又，在椭圆上，故有，.
设，则，，，.
在中，由勾股定理得，
解得，于是，，故.
15.（1）由题意得，则直线的斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线的方程为：，
即．
（2）的中点坐标为，
由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为，
即．
因为是以为顶点的等腰直角三角形，
所以点在直线上，
故设点为，
由可得：，
解得或，
所以点坐标为或，
则直线的方程为或．
16.（1）若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，
所以甲连续打四局比赛的概率；
（2）在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，
故在前四局中甲轮空两局的概率；
（3）甲第四轮空有两种情况：
第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，
第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，
第1种情况的概率；第2种情况的概率；
由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为.
17.（1）由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知，，
解得，
又，解得，
所以，，
成绩落在内的频率为：，
落在内的频率为：，设第60百分位数为，
则，解得，所以晋级分数线划为73分合理；
（2）由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取4人和2人，分别记为，，，和，
，
则所有的抽样有：，共15个样本点，
“抽到的两位同学来自不同小组”，
则共8个样本点，
所以.
（3）因为，所以，
所以，
所以，
剔除其中的96和84两个分数，设剩余8个数为，，，…，，
平均数与标准差分别为，，
则剩余8个分数的平均数：，
方差：
18.（1）由题意可得，解得：，，
∴椭圆的标准方程为：；
（2）由(1)可得右焦点，
由题意设直线的方程为：，设直线与椭圆的交点，，，，则中点的纵坐标为，
联立直线与椭圆的方程，
整理可得：，，∴，
同理可得直线与椭圆的交点的纵坐标，
∴
，
设，令，则，令，，
，，恒成立，∴在，单调递增，
∴．
∴面积的最大值为：．
19.（1）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，，两点关于轴对称，所以，，
因为在椭圆上，所以，①
又因为，所以，②
由①②得，，此时，.
（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由题意知，将其代入得，
其中，即，（*）
又，，
所以，
因为点到直线的距离为，
所以，
又，整理得，且符合（*）式，
此时，，
综上所述，，，结论成立。
（2）解法一：（ⅰ）当直线的斜率不存在时，由（1）知，，
因此，，
（ⅱ）当直线的斜率存在时，由（1）知：，
，
，
，
所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
综上可得，的最大值为.
解法二：，
所以，，即，
当且仅当时等号成立.因此的最大值为.
（3）椭圆上不存在三点，，，使得.
证明：假设存在，，满足，
由（1）得，，，，，，
解得，，
因此，，只能从中选取，，，只能从中选取，
因此，，只能在这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾.
所以椭圆上不存在满足条件的三点，，.