2024-2025学年湖南省邵阳市邵东县创新学校高三（上）第二次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省邵阳市邵东县创新学校高三（上）第二次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.若，，则“”是“”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.以下函数满足的是( )
A. B. C. D.
4.已知平面向量，，，且，则( )
A. B. C. D.
5.如图是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是( )
A.
B.
C.
D.
6.设满足，则( )
A. B. C. D.
7.函数在上的零点个数为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列命题，其中正确的是( )
A. 重心到顶点与对边中点的距离之比为：
B. 等腰三角形的内心，重心和外心同在底边的高线上
C. 直角三角形的外心是斜边的中点，垂心是直角的顶点
D. 中，若：：：：，为的内心，则面积：面积：面积：：
10.已知正实数，，满足，当取最小值时，下列说法正确的是( )
A. B.
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11.函数的定义域为，且在上单调递减，，若函数的图象关于直线对称，则下列结论正确的是( )
A. 的图象关于直线对称． B. 为偶函数．
C. ，恒成立 D. 的解集为．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的值域是 ．
13.已知命题：，；命题：，，若为真命题，则实数的取值范围是______．
14.已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，连接．
若的面积为，求的长；
若，求角的大小．
16.本小题分
，，，四位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：先将四位同学平均分成两组，每组进行一场比赛决出胜负，获胜者进入胜者组，失败者进入败者组胜者组合败者组再各自进行一场比赛，胜者组中获胜者获得冠军，失败者获得亚军，败者组中获胜者获得季军设每场比赛双方获胜的概率都为．
求同学获得冠军的概率；
求，两人能够在比赛中相遇的概率．
17.本小题分
已知函数．
当时，求在的单调区间及极值．
若恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为，离心率为，直线：与椭圆交于、两点其中点在轴上方，点在轴下方．
求椭圆的标准方程；
如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面平面与轴负半轴和轴所确定的半平面平面垂直．
若折叠后，求的值；
是否存在，使折叠后、两点间的距离与折叠前、两点间的距离之比为？
19.本小题分
在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．
判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由；
已知函数是“旋转函数”，求的值；
若函数是“旋转函数”，求的取值范围．
参考答案
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15.解：由已知得，
又，，
，
又，在中，由余弦定理，得：．
．
因为，
在中，由正弦定理，得，
又，得，
解得，
因为为三角形内角，，
所以．
16.解：同学获得冠军的概率为．
，两人在第一轮相遇的概率为，
，两人在败者组相遇的概率为，
，两人在胜者组相遇的概率为，
所以，两人能够在比赛中相遇的概率为．
17.解：当，时，，
则，
令，解得，
令，解得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以在处取得极小值为，无极大值．
依题意可得，
对，恒成立，
即，令，
当时，，单调递减，
当时，，则，
令，解得，令，解得，
综上所述，在上单调递减，在上单调递增，
则，
所以，即，
所以的取值范围为．

18.解：由题意，解得：，，
所以椭圆 的标准方程为 ．
折叠前设 ，，
联立，消去得，
，即，
由韦达定理得：，
因为位于 轴两侧，所以，化简得，从而，
以为坐标原点，折叠后，分别以原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则折叠后，，
折叠后，则，即，所以，；
折叠前，
折叠后
，
，
由题意可得：，
解得，，符合题意，
所以存在，使折叠后、两点间的距离与折叠前、两点间的距离之比为．
19.解：函数不是“旋转函数”，理由如下：
逆时针旋转后与轴重合，
当时，有无数个与之对应，与函数的概念矛盾，
因此函数不是“旋转函数”．
由题意可得与至多有一个交点，即，
即函数与函数最多有个交点，
当时，函数在和上单调，与函数有个交点，不合题意；
当时，函数为对勾函数，与函数至多有个交点，不合题意；
当时，函数，由反比例函数可知，与函数最多有个交点，符合题意；
综上，．
由题意可得函数与函数最多有个交点，
即函数与函数最多有个交点，
即函数在上单调，
，当时，，
所以，
令，则，
因为在上单调递减，且，
所以存在，使，
即，
所以在单调递增，单调递减，
所以，
即，即实数的取值范围为．
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