2024-2025学年天津五十四中高三（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年天津五十四中高三（上）第一次月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数在的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知奇函数，且在上是增函数．若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.某校抽取名学生做体能测试，其中百米测试中，成绩全部介于秒到秒之间，将测试结果分为五组：第一组，第二组，，第五组如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩低于即为优秀，如果优秀的人数为人，则的估计值是( )
A. B. C. D.
6.如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为是( )
A.
B.
C.
D.
7.普通班做已知，函数在内单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知，给出下列结论：
若，，且，则；
存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；
若，则在上单调递增；
若在上恰有个零点，则的取值范围为．
其中，所有正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.是虚数单位，复数的虚部是______．
11.在的展开式中，的系数为______．
12.计算：______．
13.设，，若，则的最小值为______．
14.甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为；乙第一次射击的命中率为，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为乙若射中，则不再继续射击．则甲三次射击恰好命中次的概率为 ，乙射击次数的期望为 ．
15.在菱形中，，，，分别为线段，上的点，，，点在线段上，且满足，则 ；若点为线段上一动点，则的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，、、分别是三个内角、、的对边，若，，，且．
求及的值；
求的值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，、分别为，的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，且满足，，且的面积．
求的值和边的值；
求的值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且．
求证：平面；
求二面角的正弦值；
设为棱上的点不与，重合，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
20.本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ求函数的单调区间；
Ⅲ已如函数，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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16.解：在中，由正弦定理，
可得：，
，
，
解得：，
在中，由余弦定理，
可得：，解得，或，
，．
，可得，
，
．
17.解：Ⅰ证明：，分别为，的中点，
，
又平面，平面，
平面；
Ⅱ已知，，又底面为正方形，
所以，
故DA、、两两互相垂直，
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则，，，，，，
设平面的法向量为，则，可取，
设直线与平面所成角为，
则．
18.解：由余弦定理及，得，
由于，则．
由正弦定理：及，得，
即，又的面积为，
故，
于是．
由，及，解得，
由于，则，
又，则，即为锐角，
于是，从而，，
故．
19.证明：因为 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，又因为 ，
则以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知可得 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
因为 ， ，所以 ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
解：由可知 平面 ，
可作为平面 的法向量，
设平面 的法向量
因为 ， ．
所以 ，即 ，
不妨设 ，得 ．
，
所以二面角 的正弦值为 ．
设 ，即 ，
所以 ，即 ，
因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
所以 ，
即 ，解得 ，即 ．

20.解：Ⅰ，定义域是，
，，，
故切线方程为，即；
Ⅱ由Ⅰ，
令，解得，令，解得，
故在单调递增，在单调递减；
Ⅲ由Ⅱ得的极大值是，
即的最大值是，
，，
令，解得或，
若，，不等式恒成立，
则时，恒成立，
当即时，在上单调递增，
此时，令，得；
当时，即时，在单调递减，在单调递增，
此时，
令，解得，不符合题意；
当即时，在单调递减，
故，
令，解得，不符合题意
综上，实数的取值范围是．
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