2024-2025学年江苏省连云港高级中学高三（上）第一次学情检测数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省连云港高级中学高三（上）第一次学情检测
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设集合，，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知球的半径为，其内接圆锥的高为，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
6.若为偶函数，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数为奇函数，为偶函数，且当时，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程至少有两解，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若函数既有极大值也有极小值，则( )
A. B. C. D.
10.如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，则( )
A.
B.
C. 四边形的面积为
D. 平行六面体的体积为
11.若实数，满足，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ______．
13.底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为的正四棱锥，所得棱台的体积为
14.已知：函数是定义在上的可导函数，当时，，若，且对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，函数．
当时，求过点且与曲线相切的直线方程；
，是函数的两个极值点，证明：为定值．
16.本小题分
在每年的月份到月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量单位：台”与“当年的月份”线性相关根据统计得下表：
月份
销量
根据往年的统计得，当年的月份与销量满足回归方程请预测当年月份该品牌的空调可以销售多少台
该销售商从当年的前个月中随机选取个月，记为销量不低于前个月的月平均销量的月份数，求的分布列和数学期望．
17.本小题分
如图三棱锥中，，，，为的中点．
证明：
点满足，求二面角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率，左顶点为，下顶点为，是线段的中点，其中．
求椭圆方程．
过点的动直线与椭圆有两个交点，，在轴上是否存在点使得恒成立若存在，求出这个点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
若，求的极小值；
讨论函数的单调性；
当时，证明：有且只有个零点．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当时，，则导数．
设切点为，则，
所以切线方程为．
又切线过点，则，
整理得，解得．
所以过点且与曲线相切的直线方程为．
证明：依题意，，令，得，
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
不妨设，则，，
所以，
所以为定值．
16.解：，
，
又回归直线过样本中心点，所以，得，
所以，当时，，
所以预测当年月份该品牌的空调可以销售台；
因为，所以销量不低于前个月的月平均销量的月份数为，，，
所以，，，，
所以，，，，
所以的分布列为：
故数学期望．
17.解：连接，，，，
又，，与均为等边三角形，
，，，平面，
设，，，，
，，又，，
平面，
如图建立空间直角坐标系，
，，，，
，
，，，
设平面与平面的一个法向量分别为，，
设二面角平面角为，
，

18.解：因为椭圆的离心率为，
所以，即，其中为半焦距，
，
则，
所以，，，
，解得，
故，，
故椭圆方程为；
若过点的动直线的斜率不存在，
则，或，，此时，
若过点的动直线的所率存在，
则可设该直线方程为：，
设，，
，化简整理可得，，
故，；
，，
故
，
恒成立，故，解得，
若恒成立．
结合可知，．
故这个点纵坐标的取值范围为
19.解：当时，，的定义域为，，
由得，由得，
所以在区间上单调递减；在区间上单调递增，
所以当时，取得极小值，无极大值；
由题意得的定义域为，，
令，则，
当时，恒成立，在上单调递增，即在上单调递增，
当时，由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增；
即时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；
证明：当时，，由知为增函数，
又，，所以存在，使得，即，
且在上单调递减，在上单调递增，
所以，显然，所以，
又，，
所以在和上各有一个零点，
即时，有且只有个零点．
第1页，共1页