2024-2025学年江苏省苏州市陆慕高级中学高三（上）第二次月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省苏州市陆慕高级中学高三（上）第二次月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.要得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，直线与的图象在轴右侧交点的横坐标依次为，，其中，若，则( )
A. B. C. D.
8.定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”若函数，的“躺平点”分别为，，则，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，下列结论正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.已知奇函数的最小正周期为，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法中正确的有( )
A. 函数的图象关于直线对称
B. 当时，函数的最小值是
C. 函数在区间上单调递增
D. 若函数有且仅有个零点，则所有零点之和为
11.关于函数有下述四个结论，则( )
A. 是偶函数 B. 的最小值为
C. 在上有个零点 D. 在区间单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.请写出一个函数 ，使之同时具有如下性质：，，，
13.已知定义在上的函数在上单调递增，且是偶函数，则满足的的取值范围为______．
14.已知，，若存在最大值，则正数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，向量，记．
求表达式；
解关于的不等式．
16.本小题分
已知函数．
若，判断并证明在上的单调性；
若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数在上单调递减．
求的最大值；
若的图象关于点中心对称，且在上的值域为，求的取值范围．
18.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
证明：；
若，，求．
19.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若有两个极值点，且不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：因为，，
，
所以；
由得，
所以，
即，
解得，
所以不等式解集为．
16.解：，则，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：，且，
，
，故，，
当，时，，所以，
故，即，所以函数在上单调递减；
当，时，，所以，
故，即，所以函数在上单调递增．
，即，
即，存在，使得成立．
令，，所以存在，成立．
所以，．
又，所以当时，，
所以，即．

17.解：由条件知 则 ，
由正弦函数的性质可知：
又有 为的最小正周期，
当 时， 符合题意；
当 时， ，无解，
所以 的最大值为 ．
因为 的图象关于点 中心对称，所以 ．
即 ，
由得： ，所以 ，则 ，
当 时， ，
因为 在 上的值域为 ，所以 ，
则 ，解得 ，
所以的取值范围是 ．

18.证明：因为，
由正弦定理及半角公式可得，
整理可得，
由正弦定理可得；
即证得；
解：因为，由可得，
又因为，即，可得，
可得，即，
由余弦定理可得：，
，
，
所以，
整理可得：，即，
，可得，
所以，
所以．
19.解：，令，则，
当，即时，恒成立，则在上单调递增，无递减区间；
当，即时，方程的解为，
且当和时，，递增，
当时，，递减，
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，
单调递减区间为；
若有两个极值点，由知，，且是方程的两个不等的实数根，
，
不等式
即为，
，
，即，
令，则，
在上单调递增，则，
，即实数的取值范围为．
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