2024-2025学年江苏省盐城市东台中学高三（上）联考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省盐城市东台中学高三（上）联考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，则．
A. B. C. D.
4.已知，若，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数是奇函数，则实数( )
A. B. C. D.
6.我国古代数学家刘徽于公元年在九章算术注中提出“割圆术”：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值可表示成( )
A. B. C. D.
7.若函数在上存在唯一的极值点，则正数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若不等式的解集为，则函数的极小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，最小值是的有( )
A. B.
C. D.
10.在中，角、、所对的边分别为、、，则能推出的有．
A.
B.
C.
D.
11.定义在上的函数满足如下条件：；当时，则 ( )
A. B. 在上是增函数
C. 是周期函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的值为______．
13.定义在上的函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为 ．
14.如图，某商场内有一家半圆形时装店，其平面图如图所示，是圆心，直径为米，是弧的中点一个时装塑料模特在上，计划在弧上设置一个收银台，若越大，该店店长在收银台处的视线范围越大，则当店长在收银台处的视线范围最大时，的长度为______米
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的最小正周期为，且点是该函数图象上的一个最高点．
求函数的解析式；
把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，在上是增函数，求的取值范围．
16.本小题分
某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中、两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得分，失败者不得分，其中累计得分领先对方分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行场假设每场比赛中同学获胜的概率均为，且各场比赛的结果相互独立．
求趣味比赛进行到第场时比赛就结束的概率；
此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为，求的分布列及数学期望．
17.本小题分
已知在多面体中，，，，，，且平面平面．
Ⅰ设点为线段的中点，试证明平面；
Ⅱ若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
18.本小题分
如图所示，在中，，平分，且．
若，求的长度
求的取值范围
若，求为何值时，最短．
19.本小题分
若函数．
若，且曲线的切线过点，求直线的方程
证明：若，则
若恒成立，求的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：由已知得，，
故，所以，
故，得，，
又，故时，即为所求，
故
函数的图象向右平移个单位长度，得，
令，则化为，因为，故，
所以在上是增函数，即在上单调递增，
又因为，所以，仅包含的单调递增区间，故要使原函数在上单调递增，
只需，解得，
故所求的取值范围是
16.解：由题可知，同学连胜场或连败场，
则其概率．
由题可知，的取值可能是，，，
由知，，
当时，前场打平，后两场连胜或连败，
则，
，
所以分布列为：
所以数学期望．
17.解：Ⅰ证明：取的中点，连接．
在中，
．
平面平面，平面平面，平面，
平面．
分别为的中点，
，且．
又，，
，且．
四边形为平行四边形
，
平面
Ⅱ平面，，
以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，
所在直线为轴，建立空间直角坐标系．
则，，．
平面，
直线与平面所成的角为．


可取平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
，，
则，取，则，
，
，
二面角的余弦值为．
18.解：在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因为平分，所以，又，所以，
因为，且，所以所以．
方法一由是的平分线得，则，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
由得，
又，，所以，则，
因为，
所以
方法二：由，得，
又，，整理得，
因为，所以
由余弦定理得，因为所以，即，故BC，
记，
则，
所以其中
故当时，取得最小值，
此时，
又由知，
而，
则，
故，
即当时，最短．
19.解：由题意得，
设所求切线的切点为，则直线的方程为，
即，又，
即，
令，可知在上单调递增．
又，所以方程有唯一解．
所以，直线的方程是或
证明：，，
即，要证，
由知只要证，即证，
又因为，即证，
令，则，欲证式成立，等价于证明，
设函数，则，
所以函数是上的增函数，所以，即成立，
所以
解法一：由题意得．
则，令，得或舍去，
在上，，在上，，
在上单调递增，在上单调递减，
当且仅当时，取得最大值
已知恒成立
又，所以，所以，解得．
所以的取值的集合为．
解法二：由题意得恒成立，
令，得，
，，方程有两个不相等的实数根，，
则，不妨设，在上单调递增，在上单调递减，
由，得，
恒成立．
令，则，
则，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，，即，
当且仅当时取等号，又恒成立，所以，且，将代入式得．
所以的取值的集合为．

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