2024-2025学年江苏省常州市常州一中高三（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省常州一中高三（上）段考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则复数的共轭复数的虚部是( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要
4.已知四面体中，，，，，为中点，若，则( )
A.
B.
C.
D.
5.某家族有，两种遗传性状，该家族某成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，，两种性状都不出现的概率为，则该成员，两种性状都出现的概率为( )
A. B. C. D.
6.设函数，若，则，满足的关系式为( )
A. B. C. D.
7.若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知，设，，，其中为自然对数的底数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 已知两组数据，，，与，，，，它们的平均数分别是和，则新的一组数据，，，的平均数是
C. 函数的单调增区间是
D. ，能使成立
10.已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是( )
A.
B. 在上单调递增
C. 的解集为，
D. 将的图像向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
11.设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是( )
A. 函数的图象关于点对称 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中的的系数是______．
13.若正数，满足，则的最小值是______．
14.将张完全相同的卡牌分成组，每组张第组的卡牌左上角都标，右下角分别标上，，，第组的卡牌左上角都标，右下角分别标上，，，第组的卡牌左上角都标，右下角分别标上，，，将这张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回选取张，则左上角数字依次不减小且右下角数字依次构成等差数列的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处取得极值．
求的值；
若，恒成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
如图，三棱柱中，，，，，．
求证：平面；
若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．
17.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，已知：，点在边上，．
证明：；
若，且，求的值．
18.本小题分
一个不透明箱子中有除颜色外其它都相同的四个小球，其中两个红球两个白球的概率为，三个红球一个白球的概率为．
从箱子中随机抽取一个小球，求抽到红球的概率；
现从箱子中随机一次性抽取两个或三个小球，已知抽到两个小球的概率为，抽到三个小球的概率为，所抽到的小球中，每个红球记分，每个白球记分，用表示抽到的小球分数之和，求的分布列及数学期望．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的零点的个数；
当时，若对任意，恒有，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：由，可得，
由，解得，
此时，，
令，得，令，得，
故是函数的极值点，故符合题意，
所以．
由对恒成立，
则对恒成立，
则对恒成立，
令，
则，
当时，，当时，，
所以当时，，恒成立，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
所以实数的取值范围为．
16.证明：因为，，，由余弦定理得，
所以，所以，又因为，
又因为，所以平面．
解：由已知和得，、、两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，，
，，，
设平面和平面的法向量分别为，，
，令，，
，令，，
直线与平面所成角的正弦值为，解得，
，，
所以二面角的余弦值为．
17.证明：在中，由，
结合正弦定理，可得，
又因为，所以，
所以；
解：在中，由余弦定理，
可得，
因为，所以，
则，
因为，化简可得，则，
所以，
在中，由余弦定理，
可得，
由可得，则，
解得或舍去，
，
所以．
18.解：记事件表示“抽取一个小球且为红球”，表示“箱子中小球为两红两白”，表示“箱子中小球为三红一白”，
则．
由题意得的取值可以为，，，，，，
，，，
，，．
随机变量的分布列为：
所以的分布列及数学期望为：．
19.解：已知，函数定义域为，
令，
解得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值，
又，
所以当时，，当时，，
此时当，即时，函数与直线无交点，即函数无零点；
当或，即或时，
函数与直线有且仅有一个交点，
即函数有一个零点，
当，即时，
函数与直线有两个交点，
此时有两个零点，
综上：当时，函数无零点，当或时，函数有一个零点，
当，函数有个零点；
当时，若对任意，恒有，
即对任意，恒有，
不妨设，函数定义域为，
可得，
此时不等式满足，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当，，单调递减；
当，，单调递增，
所以，
所以函数在上单调递增，
因为，
所以对任意恒成立，
对等式两边同时取对数并整理得对任意恒成立，
由知，函数的最大值为，
所以，
解得，
故实数的取值范围为．
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