2024-2025学年江苏省南通市海门中学高三（上）第一次调研数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南通市海门中学高三（上）第一次调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知点是角终边上一点，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知函数部分图象如图所示，则其解析式可能为( )
A.
B.
C.
D.
6.过点作曲线的切线，则这样的切线共有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
7.锐角、满足，若，则( )
A. B. C. D.
8.若函数在上只有一个零点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则( )
A. B. C. D.
10.已知，，是函数的三个零点，则( )
A. B.
C. D.
11.若定义在上的函数的图象关于点成中心对称，且是偶函数，则( )
A. 图象关于轴对称 B. 为奇函数
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数是奇函数，则 ______．
13.“”是“”的______条件选填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”
14.班上共有名学生，其中人会打乒乓球，人会骑自行车，人会打羽毛球，则三个运动项目都会的同学至少有______人
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知、为锐角，，．
求的值；
求的大小．
16.本小题分
已知函数
判断函数的奇偶性并证明，据此说明图象的对称性；
若任意，，求实数的取值范围．
17.本小题分
若函数图象的相邻对称轴距离为，且．
求的解析式；
将的图象向右平移个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到函数的图象当时，求不等式的解．
18.本小题分
绿色、环保是新时代健康生活的理念，某一运动场馆投放空气净化剂净化场馆，已知每瓶空气净化剂含量为，投放后该空气净化剂以每小时的速度减少，根据经验，当场馆内空气净化剂含量不低于时有净化效果，且至少需要持续净化小时才能达到净化目的现有瓶该空气净化剂．
如果一次性投放该空气净化剂瓶，能否达到净化的目的？如果能，说明理由；如果不能，最多可净化多长时间？精确到小时
如果瓶空气净化剂分两次投放，在第一次投放后间隔小时进行第二次投放，为达到净化目的，试给出两次投放的所有可能方案？每次投放的瓶数为整数，投放用时忽略不计
参考数据：，．
19.本小题分
已知函数，．
若的最大值为，求的值；
若存在，使得，则称为在区间上的“巧点”．
当时，若为在区间上的“巧点”，证明：；
求证：任意，在区间上存在唯一“巧点”．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.充分不必要
14.
15.解：因为，，
所以，
所以，
所以；
因为，
所以，
所以，
因为，且，
所以，
因为，且，
所以，
所以，
所以．
16.解：函数是奇函数，理由如下：
设，
函数的定义域为，因为，都有，
且，
所以是奇函数，其图像关于中心对称；
因为，所以图象是由向上平移个单位得到，
所以图像关于中心对称；
因为，
所以可以化为，
所以，
因为，
因为，所以，
所以且不恒为，
即在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，
所以，
所以在上递增，在递减，
所以，
所以，
故的范围为．
17.解：根据题意可得，，
又，，又，
，
；
将的图象向右平移个单位可得，
将图象上每个点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变可得，
可化为：
，，
设，
则，
，
，
，，
，
，
所求解集为
18.解：假设一次性投放瓶，可持续净化小时，则，所以，
两边取常用对数得，，所以，
因为，所以不能达到净化目的，最多可净化小时．
设第一次投放瓶，第二次投放瓶，且，
依据题意得，，
由得，，
由得，，
所以；
又因为，所以可取或．
所以两次投放可能的投放方案为第一次投放瓶，第二次投放瓶；
或者第一次投放瓶，第二次投放瓶．
19.解：因为，
当时，在上单调递增，不符合；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以最大值为，
所以，即，
综上，；
因为，，
证明：当时，，，
因为，，
所以，，
即，
要证，
即证，
令，因为，所以，
设，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
即；
(ⅱ)证明：令，
即，
因为，，
所以，
所以在区间上单调递减；
因为，
令，则，
所以，
设，
则，
即在上单调递减，上单调递增，
所以，即，
因为，，所以；
同理，，
因为，，
所以，
即，
所以，
所以；
因为，且在区间上单调递减，
所以在区间上存在唯一零点，
即证任意，在区间上的“巧点”是唯一的．
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